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Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete axiomatische Mengenlehre, die nach Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel benannt ist. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom wird durch ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom durch ZFC (wobei das C für das engl. Wort choice, also Auswahl oder Wahl steht).

Inhaltsverzeichnis

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine Erweiterung der Zermelo-Mengenlehre von 1907, die auf Axiomen und Anregungen von Fraenkel von 1921 beruht. Fraenkel ergänzte das Ersetzungsaxiom und plädierte für reguläre Mengen ohne zirkuläre Elementketten und für eine reine Mengenlehre, deren Objekte nur Mengen sind. Zermelo komplettierte 1930 das Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, das er selbst als ZF-System bezeichnete: Er nahm das Ersetzungsaxiom Fraenkels auf und fügte das Fundierungsaxiom hinzu, um zirkuläre Elementketten auszuschließen, wie von Fraenkel gefordert. Das originale ZF-System ist verbal und kalkuliert auch Urelemente ein, die keine Mengen sind. Auf solche Urelemente verzichten spätere formalisierte ZF-Systeme meist und setzen damit Fraenkels Ideen vollständig um. Die erste präzise prädikatenlogische Formalisierung der reinen ZF-Mengenlehre schuf Thoralf Skolem 1929 (noch ohne Fundierungsaxiom). Diese Tradition hat sich durchgesetzt, so dass heute das Kürzel ZF für die reine Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre steht. Die dem originalen ZF-System näherstehende Version mit Urelementen wird heute aber auch noch gebraucht und zur klaren Unterscheidung als ZFU bezeichnet.

Die ZFC-Mengenlehre ist ein bewährter und weithin akzeptierter Rahmen für die Mathematik, obwohl die meisten Mathematiker nicht in der Lage sind, die ZFC-Axiome aufzuzählen. Ausnahmen finden sich überall dort, wo man mit echten Klassen arbeiten muss oder will. Man benutzt dann gewisse Erweiterungen von ZFC, die Klassen oder zusätzliche sehr große Mengen zur Verfügung stellen, etwa eine Erweiterung zur ZFC-Klassenlogik oder die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre oder ein Grothendieck-Universum.

Wegen der grundlegenden Bedeutung der ZFC-Mengenlehre für die Mathematik wurde seit 1918 im Rahmen des Hilbert-Programms ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Mengenlehre gesucht. Gödel, der sich mit wichtigen Beiträgen an diesem Programm beteiligte, konnte aber 1930 in seinem Zweiten Unvollständigkeitssatz zeigen, dass ein solcher Widerspruchsfreiheitsbeweis im Rahmen einer widerspruchsfreien ZFC-Mengenlehre unmöglich ist. Die Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC bleibt daher eine durch Erfahrung gehärtete Arbeitshypothese der Mathematiker:

„Die Tatsache, dass ZFC seit Jahrzehnten untersucht und in der Mathematik benutzt wird, ohne dass sich ein Widerspruch gezeigt hat, spricht aber für die Widerspruchsfreiheit von ZFC.“

Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Kap. VII, § 4

ZF hat unendlich viele Axiome, da zwei Axiomenschemata (8. und 9.) verwendet werden, die zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften je ein Axiom angeben. Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat {\displaystyle \in } .

1. Extensionalitätsaxiom: Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

A , B : ( A = B C : ( C A C B ) ) {\displaystyle \forall A,B\colon (A=B\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B))}
Das Axiom impliziert, dass es in ZF nur Entitäten mit Extension gibt, die üblicherweise als Mengen bezeichnet werden. Alle gebundenen Variablen beziehen sich daher in der ZF-Sprache automatisch auf Mengen.

2. Leermengenaxiom, veraltet Nullmengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente.

B : A : ¬ ( A B ) {\displaystyle \exists B\colon \forall A\colon \lnot (A\in B)}
Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge B {\displaystyle B} , das heißt, dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als {\displaystyle \emptyset } geschrieben und leere Menge genannt. Das bedeutet: Die leere Menge ist in ZF das einzige Urelement.

3. Paarmengenaxiom: Für alle A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} gibt es eine Menge C {\displaystyle C} , die genau A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} als Elemente hat.

A , B : C : D : ( D C ( ( D = A ) ( D = B ) ) ) {\displaystyle \forall A,B\colon \exists C\colon \forall D\colon (D\in C\iff ((D=A)\lor (D=B)))}
Offenbar ist auch diese Menge C {\displaystyle C} eindeutig bestimmt. Sie wird geschrieben als { A , B } {\displaystyle \left\{A,B\right\}} . Die Menge { A , A } {\displaystyle \left\{A,A\right\}} wird üblicherweise als { A } {\displaystyle \left\{A\right\}} geschrieben.

4. Vereinigungsaxiom: Für jede Menge A {\displaystyle A} gibt es eine Menge B {\displaystyle B} , die genau die Elemente der Elemente von A {\displaystyle A} als Elemente enthält.

A : B : C : ( C B D : ( D A C D ) ) {\displaystyle \forall A\colon \exists B\colon \forall C\colon (C\in B\iff \exists D\colon (D\in A\land C\in D))}
Auch die Menge B {\displaystyle B} ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente von A {\displaystyle A} , geschrieben als A {\displaystyle \bigcup A} . Zusammen mit dem Paarmengenaxiom lässt sich die Vereinigung A B := { A , B } {\displaystyle A\cup B:=\bigcup \{A,B\}} definieren.

5. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge A {\displaystyle A} , die die leere Menge und mit jedem Element X {\displaystyle X} auch die Menge X { X } {\displaystyle X\cup \{X\}} enthält (vgl. Induktive Menge).

A : ( X A : Y : ¬ ( Y X ) X : ( X A X { X } A ) ) {\displaystyle \exists A\colon (\exists X\in A\colon \forall Y\colon \lnot (Y\in X)\land \forall X\colon (X\in A\Rightarrow X\cup \{X\}\in A))}
Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s. u.). Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch
N := { , { } , { , { } } , { , { } , { , { } } } } {\displaystyle \mathbb {N} \,:=\,\{\emptyset ,\,\{\emptyset \},\,\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\,\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\,\ldots \}}

6. Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A {\displaystyle A} gibt es eine Menge P {\displaystyle P} , deren Elemente genau die Teilmengen von A {\displaystyle A} sind.

A : P : B : ( B P C : ( C B C A ) ) {\displaystyle \forall A\colon \exists P\colon \forall B\colon (B\in P\iff \forall C\colon (C\in B\Rightarrow C\in A))}
Die Menge P {\displaystyle P} ist eindeutig bestimmt. Sie heißt die Potenzmenge von A {\displaystyle A} und wird mit P ( A ) {\displaystyle {{\mathcal {P}}(A)}} bezeichnet.

7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge A {\displaystyle A} enthält ein Element B {\displaystyle B} , so dass A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} disjunkt sind.

A : ( A B : ( B A ¬ C : ( C A C B ) ) ) {\displaystyle \forall A\colon (A\neq \emptyset \Rightarrow \exists B\colon (B\in A\land \lnot \exists C\colon (C\in A\land C\in B)))}
Das Element B {\displaystyle B} , welches zu A {\displaystyle A} disjunkt ist, ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.
Das Fundierungsaxiom verhindert, dass es unendliche oder zyklische Folgen von Mengen gibt, bei denen jeweils eine in der vorangegangenen enthalten ist, x 1 x 2 x 3 {\displaystyle x_{1}\ni x_{2}\ni x_{3}\ni \dots } , denn dann könnte man eine Menge A = { x 1 , x 2 , x 3 , } {\displaystyle A=\{x_{1},x_{2},x_{3},\dots \}} bilden, die dem Axiom widerspricht: Für jedes x i A {\displaystyle x_{i}\in A} ist x i + 1 x i A {\displaystyle x_{i+1}\in x_{i}\cap A} , die beiden Mengen sind also nicht disjunkt. Das impliziert, dass eine Menge sich nicht selbst als Element enthalten kann.

8. Aussonderungsaxiom: Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom zu jedem Prädikat P {\displaystyle P} : Zu jeder Menge A {\displaystyle A} existiert eine Teilmenge B {\displaystyle B} von A {\displaystyle A} , die genau die Elemente C {\displaystyle C} von A {\displaystyle A} enthält, für die P ( C ) {\displaystyle P(C)} wahr ist.

Für jedes einstellige Prädikat P ( C ) {\displaystyle P(C)} , in dem die Variable B {\displaystyle B} nicht vorkommt, gilt: A : B : C : ( C B C A P ( C ) ) {\displaystyle \forall A\colon \exists B\colon \forall C\colon (C\in B\iff C\in A\land P(C))}
Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, dass es genau eine solche Menge gibt. Diese wird mit { C A | P ( C ) } {\displaystyle \{C\in A|P(C)\}} notiert.

9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel): Ist A {\displaystyle A} eine Menge und wird jedes Element von A {\displaystyle A} eindeutig durch eine beliebige Menge ersetzt, so geht A {\displaystyle A} in eine Menge über. Die Ersetzung wird präzisiert durch zweistellige Prädikate mit ähnlichen Eigenschaften wie eine Funktion, und zwar als Axiomenschema für jedes solche Prädikat:

Für jedes Prädikat F ( X , Y ) {\displaystyle F(X,Y)} , in dem die Variable B {\displaystyle B} nicht vorkommt gilt:
X , Y , Z : ( F ( X , Y ) F ( X , Z ) Y = Z ) A : B : C : ( C B D : ( D A F ( D , C ) ) ) {\displaystyle \forall X,Y,Z\colon (F(X,Y)\land F(X,Z)\Rightarrow Y=Z)\Rightarrow \forall A\colon \exists B\colon \forall C\colon (C\in B\iff \exists D\colon (D\in A\land F(D,C)))}
Die Menge B {\displaystyle \,B} ist eindeutig bestimmt und wird als { Y | D A F ( D , Y ) } {\displaystyle \{Y|D\in A\land F(D,Y)\}} notiert.

In der Mathematik wird häufig auch das Auswahlaxiom benutzt, das ZF zu ZFC erweitert:

10. Auswahlaxiom: Ist A {\displaystyle A} eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A {\displaystyle A} enthält. Dieses Axiom hat eine komplizierte Formel, die mit dem Eindeutigkeitsquantor ! {\displaystyle \exists !} etwas vereinfacht werden kann:

A : ( ( ( A ) X , Y , Z : ( ( X A Y A Z X Z Y ) ( X = Y ) ) ) {\displaystyle \forall A\colon {\Big (}((\emptyset \not \in A)\ \wedge \ \forall X,Y,Z\colon ((X\in A\ \wedge \ Y\in A\ \wedge \ Z\in X\ \wedge \ Z\in Y)\Rightarrow (X=Y)))}
{\displaystyle \Rightarrow \;}
B : X : ( X A ! Y : ( Y X Y B ) ) ) {\displaystyle \exists B\colon \forall X\colon (X\in A\Rightarrow \exists !\ Y\colon (Y\in X\wedge Y\in B)){\Big )}}
Eine andere übliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist A {\displaystyle A} eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f {\displaystyle f} (von A {\displaystyle A} in seine Vereinigung), die jedem Element B {\displaystyle B} von A {\displaystyle A} ein Element von B {\displaystyle B} zuordnet („ein Element von B {\displaystyle B} auswählt“).
Mit den ZF-Axiomen kann man die Äquivalenz des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten.

Zermelo formulierte das originale ZF-System für Mengen und Urelemente. Mengen definierte er als elementhaltige Dinge oder die Nullmenge. Urelemente sind dann Dinge ohne Elemente, und zwar betrachtete er die Nullmenge als ausgezeichnetes Urelement, das als gegebene Konstante {\displaystyle \emptyset } die ZF-Sprache erweitert. Mengen und Urelemente sind damit präzise definierbar:

M ist Menge : ( M = ) X : ( X M ) {\displaystyle M{\text{ ist Menge}}\colon \iff (M=\emptyset )\lor \exists X\colon (X\in M)}
U ist Urelement : ¬ X : ( X U ) {\displaystyle U{\text{ ist Urelement}}\colon \iff \lnot \exists X\colon (X\in U)}

Von der üblichen reinen ZF-Mengenlehre wird die Mengenlehre mit Urelementen unterschieden durch angehängtes U. Die Axiome von ZFU und ZFCU lauten abgesehen vom Leermengenaxiom verbal wie die Axiome von ZF oder ZFC, werden aber wegen der anderen Rahmenbedingungen anders formalisiert; ableitbare Mengenbedingungen können dabei entfallen.

ZFU

ZFU umfasst folgende Axiome:

Leermengenaxiom:
ist Urelement {\displaystyle \emptyset {\text{ ist Urelement}}}
Axiom der Bestimmtheit (abgeschwächtes Extensionalitätsaxiom):
A ist Menge B ist Menge ( A = B C : ( C A C B ) ) {\displaystyle A{\text{ ist Menge }}\land B{\text{ ist Menge }}\Rightarrow (A=B\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B))}
Vereinigungsaxiom:
A : B : ( B ist Menge C : ( C B D : ( D A C D ) ) ) {\displaystyle \forall A\colon \exists B\colon (B{\text{ ist Menge }}\land \forall C\colon (C\in B\iff \exists D\colon (D\in A\land C\in D)))}
Potenzmengenaxiom:
A : P : B : ( B P ( B ist Menge C : ( C B C A ) ) ) {\displaystyle \forall A\colon \exists P\colon \forall B\colon (B\in P\iff (B{\text{ ist Menge }}\land \forall C\colon (C\in B\Rightarrow C\in A)))}
Unendlichkeitsaxiom:
A : ( X A : Y A : ¬ ( Y X ) X : ( X A X { X } A ) ) {\displaystyle \exists A\colon (\exists X\in A\colon \forall Y\in A\colon \lnot (Y\in X)\land \forall X\colon (X\in A\Rightarrow X\cup \{X\}\in A))}
Fundierungsaxiom:
X : ( X A ) B : ( B A ¬ C : ( C A C B ) ) {\displaystyle \exists X\colon (X\in A)\Rightarrow \exists B\colon (B\in A\land \lnot \exists C\colon (C\in A\land C\in B))}
Ersetzungsaxiom für zweistellige Prädikate F ( X , Y ) {\displaystyle F(X,Y)} :
X , Y , Z : ( F ( X , Y ) F ( X , Z ) Y = Z ) A : B : ( B ist Menge C : ( C B D : ( D A F ( D , C ) ) ) ) {\displaystyle \forall X,Y,Z\colon (F(X,Y)\land F(X,Z)\Rightarrow Y=Z)\Rightarrow \forall A\colon \exists B\colon (B{\text{ ist Menge }}\wedge \ \forall C\colon (C\in B\iff \exists D\colon (D\in A\wedge \ F(D,C))))}

Aus den ZFU-Axiomen und dem Axiom X : X ist Menge {\displaystyle \forall X\colon X{\text{ ist Menge}}} folgen offenbar die ZF-Axiome. Denn aus dem Ersetzungsaxiom ist wie in ZF (siehe unten) das Paarmengenaxiom ableitbar und auch das Aussonderungsaxiom, letzteres hier in folgender Form für jedes einstellige Prädikat P {\displaystyle P} :

A : B : ( B ist Menge C : ( C B C A P ( C ) ) ) {\displaystyle \forall A\colon \exists B\colon (B{\text{ ist Menge }}\land \forall C\colon (C\in B\iff C\in A\land P(C)))}

ZFCU

ZFCU umfasst die Axiome von ZFU und folgendes Auswahlaxiom:

A : ( ( X : ( X A Y : ( Y X ) ) X , Y , Z : ( ( X A Y A Z X Z Y ) ( X = Y ) ) ) {\displaystyle \forall A\colon {\Big (}(\forall X\colon (X\in A\Rightarrow \exists Y\colon (Y\in X))\ \wedge \ \forall X,Y,Z\colon ((X\in A\ \wedge \ Y\in A\ \wedge \ Z\in X\ \wedge \ Z\in Y)\Rightarrow (X=Y)))}
{\displaystyle \Rightarrow \;}
B : X : ( X A ! Y : ( Y X Y B ) ) ) {\displaystyle \exists B\colon \forall X\colon (X\in A\Rightarrow \exists !\ Y\colon (Y\in X\wedge Y\in B)){\Big )}}

Das ZF-System ist redundant, das heißt, es hat entbehrliche Axiome, die aus anderen ableitbar sind. ZF bzw. ZFU wird schon vollständig beschrieben durch das Extensionalitätsaxiom, Vereinigungsaxiom, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom und Ersetzungsaxiom. Das gilt wegen folgender Punkte:

  • Das Aussonderungsaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom (Zermelo).
  • Das Leermengenaxiom folgt aus dem Aussonderungsaxiom und der Existenz irgendeiner Menge, welches sich aus dem Unendlichkeitsaxiom ergibt.
  • Das Paarmengenaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom und dem Potenzmengenaxiom (Zermelo).

Paarmengenaxiom, Vereinigungsaxiom und Potenzmengenaxiom können auch aus der Aussage gewonnen werden, dass jede Menge Element einer Stufe ist. Unendlichkeitsaxiom und Ersetzungsaxiom sind im Rahmen der übrigen Axiome äquivalent zum Reflexionsprinzip. Durch Kombination dieser beiden Einsichten formulierte Dana Scott ZF zum äquivalenten Scottschen Axiomensystem um.

Man kann ZF und ZFU auch auf einer Prädikatenlogik ohne Gleichheit aufbauen und die Gleichheit definieren. Die Ableitung aller Gleichheitsaxiome sichert nur die in der Logik übliche Identitätsdefinition:

A = B : C : ( A C B C ) C : ( C A C B ) {\displaystyle A=B:\iff \forall C\colon (A\in C\iff B\in C)\land \forall C\colon (C\in A\iff C\in B)}

Zur Definition eignet sich nicht das Extensionalitätsaxiom! Die Identitätsdefinition macht dieses Axiom nicht überflüssig, weil es aus der Definition nicht ableitbar wäre. Eine Gleichheitsdefinition per Extensionalität A = B : C : ( C A C B ) {\displaystyle A=B:\iff \forall C\colon (C\in A\iff C\in B)} wäre als Alternative in ZF nur dann möglich, wenn man das Axiom A = B C : ( A C B C ) {\displaystyle A=B\Rightarrow \forall C\colon (A\in C\iff B\in C)} hinzunähme, was die Ableitbarkeit der obigen Formel sichert. Diese Möglichkeit scheidet natürlich bei ZFU aus.

Das Ersetzungsaxiom ist das einzige Axiomenschema in ZF, wenn man die Redundanzen der Axiome beseitigt und sich auf ein System unabhängiger Axiome beschränkt. Es lässt sich nicht durch endlich viele Einzelaxiome ersetzen. ZF ist also im Gegensatz zu den Theorien Neumann-Bernays-Gödel (NBG) und New Foundations (NF) nicht endlich axiomatisierbar.

Primärquellen (chronologisch)

  • Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. 1907, In: Mathematische Annalen. 65 (1908), S. 261–281.
  • Adolf Abraham Fraenkel: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. 1921, In: Mathematische Annalen. 86 (1922), S. 230–237.
  • Adolf Fraenkel: Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre. 1927. Unveränderter reprografischer Nachdruck Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1972.
  • Thoralf Skolem: Über einige Grundlagenfragen der Mathematik. 1929, In: selected works in logic. Oslo 1970, S. 227–273.
  • Ernst Zermelo: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. In: Fundamenta Mathematicae. 16 (1930) (PDF; 1,5 MB), S. 29–47.

Sekundärliteratur

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre: Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. Springer, Berlin/ Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20401-6.
  • Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/ Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
  • Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1928. (Neudruck: Dr. Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4).
  • Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
  • Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publ. Co., New York 1914, 1949, 1965.
  • Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaft, Mannheim/ Leipzig/ Wien/ Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.

Einzelnachweise

  1. David Hilbert: Axiomatisches Denken. In: Mathematische Annalen. 78 (1918), S. 405–415. Dort kommt auf Seite 411 die grundlegende Bedeutung der Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Mengenlehre für die Mathematik zur Sprache.
  2. Verbalisierung angelehnt an: Fraenkel: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. 1921, In: Mathematische Annalen. 86 (1922), S. 231.
  3. Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. 65 (1908), S. 262, §1 (2.) Mengendefinition.
  4. Ernst Zermelo: Grenzzahlen und Mengenbereiche. In: Fundamenta Mathematicae. 16 (1930), S. 30, Bemerkung in Axiom U: „An die Stelle der „Nullmenge“ tritt hier ein beliebig ausgewähltes Urelement“.
  5. Ernst Zermelo: Grenzzahlen und Mengenbereiche. In: Fundamenta Mathematicae. 16 (1930), Bemerkung S. 31.
  6. Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen I, Mannheim/ Wien/ Zürich 1978, S. 62.
  7. Wolfgang Rautenberg: Grundkurs Mengenlehre, Fassung Berlin 2008, S. 26. (PDF; 1,0 MB)
  8. Walter Felscher: Naive Mengen und abstrakte Zahlen I. Mannheim/ Wien/ Zürich 1978, S. 78f.
  9. Robert Mac Naughton, A non standard truth definition, in: Proceedings of the American Mathematical Society, Bd. 5 (1954), S. 505–509.
  10. Richard Montague, Fraenkel's addition to the axioms of Zermelo, in: Essays on the Foundation of Mathematics, S. 91–114, Jerusalem 1961. Unzulängliche Beweise wurden 1952 von Mostowski und Hao Wang gegeben.

Zermelo Fraenkel Mengenlehre axiomatische Mengenlehre Sprache Beobachten Bearbeiten Die Zermelo Fraenkel Mengenlehre ist eine verbreitete axiomatische Mengenlehre die nach Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel benannt ist Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik Die Zermelo Fraenkel Mengenlehre ohne Auswahlaxiom wird durch ZF abgekurzt mit Auswahlaxiom durch ZFC wobei das C fur das engl Wort choice also Auswahl oder Wahl steht Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Bedeutung 3 Die Axiome von ZF und ZFC 4 ZF mit Urelementen 4 1 ZFU 4 2 ZFCU 5 Vereinfachtes ZF System Redundanz 6 ZF System ohne Gleichheit 7 Nicht endliche Axiomatisierbarkeit 8 Literatur 8 1 Primarquellen chronologisch 8 2 Sekundarliteratur 8 3 Einzelnachweise 9 WeblinksGeschichte BearbeitenDie Zermelo Fraenkel Mengenlehre ist eine Erweiterung der Zermelo Mengenlehre von 1907 die auf Axiomen und Anregungen von Fraenkel von 1921 beruht Fraenkel erganzte das Ersetzungsaxiom und pladierte fur regulare Mengen ohne zirkulare Elementketten und fur eine reine Mengenlehre deren Objekte nur Mengen sind Zermelo komplettierte 1930 das Axiomensystem der Zermelo Fraenkel Mengenlehre das er selbst als ZF System bezeichnete Er nahm das Ersetzungsaxiom Fraenkels auf und fugte das Fundierungsaxiom hinzu um zirkulare Elementketten auszuschliessen wie von Fraenkel gefordert Das originale ZF System ist verbal und kalkuliert auch Urelemente ein die keine Mengen sind Auf solche Urelemente verzichten spatere formalisierte ZF Systeme meist und setzen damit Fraenkels Ideen vollstandig um Die erste prazise pradikatenlogische Formalisierung der reinen ZF Mengenlehre schuf Thoralf Skolem 1929 noch ohne Fundierungsaxiom Diese Tradition hat sich durchgesetzt so dass heute das Kurzel ZF fur die reine Zermelo Fraenkel Mengenlehre steht Die dem originalen ZF System naherstehende Version mit Urelementen wird heute aber auch noch gebraucht und zur klaren Unterscheidung als ZFU bezeichnet Bedeutung BearbeitenDie ZFC Mengenlehre ist ein bewahrter und weithin akzeptierter Rahmen fur die Mathematik obwohl die meisten Mathematiker nicht in der Lage sind die ZFC Axiome aufzuzahlen Ausnahmen finden sich uberall dort wo man mit echten Klassen arbeiten muss oder will Man benutzt dann gewisse Erweiterungen von ZFC die Klassen oder zusatzliche sehr grosse Mengen zur Verfugung stellen etwa eine Erweiterung zur ZFC Klassenlogik oder die Neumann Bernays Godel Mengenlehre oder ein Grothendieck Universum Wegen der grundlegenden Bedeutung der ZFC Mengenlehre fur die Mathematik wurde seit 1918 im Rahmen des Hilbert Programms ein Widerspruchsfreiheitsbeweis fur die Mengenlehre gesucht 1 Godel der sich mit wichtigen Beitragen an diesem Programm beteiligte konnte aber 1930 in seinem Zweiten Unvollstandigkeitssatz zeigen dass ein solcher Widerspruchsfreiheitsbeweis im Rahmen einer widerspruchsfreien ZFC Mengenlehre unmoglich ist Die Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC bleibt daher eine durch Erfahrung gehartete Arbeitshypothese der Mathematiker Die Tatsache dass ZFC seit Jahrzehnten untersucht und in der Mathematik benutzt wird ohne dass sich ein Widerspruch gezeigt hat spricht aber fur die Widerspruchsfreiheit von ZFC Ebbinghaus Einfuhrung in die Mengenlehre Kap VII 4Die Axiome von ZF und ZFC BearbeitenZF hat unendlich viele Axiome da zwei Axiomenschemata 8 und 9 verwendet werden die zu jedem Pradikat mit bestimmten Eigenschaften je ein Axiom angeben Als logische Grundlage dient die Pradikatenlogik der ersten Stufe mit Identitat und dem undefinierten Elementpradikat displaystyle in 1 Extensionalitatsaxiom Mengen sind genau dann gleich wenn sie dieselben Elemente enthalten A B A B C C A C B displaystyle forall A B colon A B iff forall C colon C in A iff C in B dd Das Axiom impliziert dass es in ZF nur Entitaten mit Extension gibt die ublicherweise als Mengen bezeichnet werden Alle gebundenen Variablen beziehen sich daher in der ZF Sprache automatisch auf Mengen 2 Leermengenaxiom veraltet Nullmengenaxiom Es gibt eine Menge ohne Elemente B A A B displaystyle exists B colon forall A colon lnot A in B dd Aus dem Extensionalitatsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge B displaystyle B das heisst dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt Diese wird meist als displaystyle emptyset geschrieben und leere Menge genannt Das bedeutet Die leere Menge ist in ZF das einzige Urelement 3 Paarmengenaxiom Fur alle A displaystyle A und B displaystyle B gibt es eine Menge C displaystyle C die genau A displaystyle A und B displaystyle B als Elemente hat A B C D D C D A D B displaystyle forall A B colon exists C colon forall D colon D in C iff D A lor D B dd Offenbar ist auch diese Menge C displaystyle C eindeutig bestimmt Sie wird geschrieben als A B displaystyle left A B right Die Menge A A displaystyle left A A right wird ublicherweise als A displaystyle left A right geschrieben 4 Vereinigungsaxiom Fur jede Menge A displaystyle A gibt es eine Menge B displaystyle B die genau die Elemente der Elemente von A displaystyle A als Elemente enthalt A B C C B D D A C D displaystyle forall A colon exists B colon forall C colon C in B iff exists D colon D in A land C in D dd Auch die Menge B displaystyle B ist eindeutig bestimmt und heisst die Vereinigung der Elemente von A displaystyle A geschrieben als A displaystyle bigcup A Zusammen mit dem Paarmengenaxiom lasst sich die Vereinigung A B A B displaystyle A cup B bigcup A B definieren 5 Unendlichkeitsaxiom Es gibt eine Menge A displaystyle A die die leere Menge und mit jedem Element X displaystyle X auch die Menge X X displaystyle X cup X enthalt vgl Induktive Menge A X A Y Y X X X A X X A displaystyle exists A colon exists X in A colon forall Y colon lnot Y in X land forall X colon X in A Rightarrow X cup X in A dd Es gibt viele derartige Mengen Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der naturlichen Zahlen die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms s u Die naturlichen Zahlen werden also dargestellt durchN displaystyle mathbb N emptyset emptyset emptyset emptyset emptyset emptyset emptyset emptyset ldots dd 6 Potenzmengenaxiom Fur jede Menge A displaystyle A gibt es eine Menge P displaystyle P deren Elemente genau die Teilmengen von A displaystyle A sind A P B B P C C B C A displaystyle forall A colon exists P colon forall B colon B in P iff forall C colon C in B Rightarrow C in A dd Die Menge P displaystyle P ist eindeutig bestimmt Sie heisst die Potenzmenge von A displaystyle A und wird mit P A displaystyle mathcal P A bezeichnet 7 Fundierungsaxiom oder Regularitatsaxiom Jede nichtleere Menge A displaystyle A enthalt ein Element B displaystyle B so dass A displaystyle A und B displaystyle B disjunkt sind A A B B A C C A C B displaystyle forall A colon A neq emptyset Rightarrow exists B colon B in A land lnot exists C colon C in A land C in B dd Das Element B displaystyle B welches zu A displaystyle A disjunkt ist ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt Das Fundierungsaxiom verhindert dass es unendliche oder zyklische Folgen von Mengen gibt bei denen jeweils eine in der vorangegangenen enthalten ist x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 ni x 2 ni x 3 ni dots denn dann konnte man eine Menge A x 1 x 2 x 3 displaystyle A x 1 x 2 x 3 dots bilden die dem Axiom widerspricht Fur jedes x i A displaystyle x i in A ist x i 1 x i A displaystyle x i 1 in x i cap A die beiden Mengen sind also nicht disjunkt Das impliziert dass eine Menge sich nicht selbst als Element enthalten kann dd 8 Aussonderungsaxiom Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom zu jedem Pradikat P displaystyle P Zu jeder Menge A displaystyle A existiert eine Teilmenge B displaystyle B von A displaystyle A die genau die Elemente C displaystyle C von A displaystyle A enthalt fur die P C displaystyle P C wahr ist Fur jedes einstellige Pradikat P C displaystyle P C in dem die Variable B displaystyle B nicht vorkommt gilt A B C C B C A P C displaystyle forall A colon exists B colon forall C colon C in B iff C in A land P C dd Aus dem Extensionalitatsaxiom ergibt sich sofort dass es genau eine solche Menge gibt Diese wird mit C A P C displaystyle C in A P C notiert 9 Ersetzungsaxiom Fraenkel Ist A displaystyle A eine Menge und wird jedes Element von A displaystyle A eindeutig durch eine beliebige Menge ersetzt so geht A displaystyle A in eine Menge uber 2 Die Ersetzung wird prazisiert durch zweistellige Pradikate mit ahnlichen Eigenschaften wie eine Funktion und zwar als Axiomenschema fur jedes solche Pradikat Fur jedes Pradikat F X Y displaystyle F X Y in dem die Variable B displaystyle B nicht vorkommt gilt X Y Z F X Y F X Z Y Z A B C C B D D A F D C displaystyle forall X Y Z colon F X Y land F X Z Rightarrow Y Z Rightarrow forall A colon exists B colon forall C colon C in B iff exists D colon D in A land F D C dd Die Menge B displaystyle B ist eindeutig bestimmt und wird als Y D A F D Y displaystyle Y D in A land F D Y notiert In der Mathematik wird haufig auch das Auswahlaxiom benutzt das ZF zu ZFC erweitert 10 Auswahlaxiom Ist A displaystyle A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen dann gibt es eine Menge die genau ein Element aus jedem Element von A displaystyle A enthalt Dieses Axiom hat eine komplizierte Formel die mit dem Eindeutigkeitsquantor displaystyle exists etwas vereinfacht werden kann A A X Y Z X A Y A Z X Z Y X Y displaystyle forall A colon Big emptyset not in A wedge forall X Y Z colon X in A wedge Y in A wedge Z in X wedge Z in Y Rightarrow X Y displaystyle Rightarrow B X X A Y Y X Y B displaystyle exists B colon forall X colon X in A Rightarrow exists Y colon Y in X wedge Y in B Big dd Eine andere ubliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet Ist A displaystyle A eine Menge nichtleerer Mengen dann gibt es eine Funktion f displaystyle f von A displaystyle A in seine Vereinigung die jedem Element B displaystyle B von A displaystyle A ein Element von B displaystyle B zuordnet ein Element von B displaystyle B auswahlt Mit den ZF Axiomen kann man die Aquivalenz des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten ZF mit Urelementen BearbeitenZermelo formulierte das originale ZF System fur Mengen und Urelemente Mengen definierte er als elementhaltige Dinge oder die Nullmenge 3 Urelemente sind dann Dinge ohne Elemente und zwar betrachtete er die Nullmenge als ausgezeichnetes Urelement 4 das als gegebene Konstante displaystyle emptyset die ZF Sprache erweitert Mengen und Urelemente sind damit prazise definierbar M ist Menge M X X M displaystyle M text ist Menge colon iff M emptyset lor exists X colon X in M U ist Urelement X X U displaystyle U text ist Urelement colon iff lnot exists X colon X in U dd Von der ublichen reinen ZF Mengenlehre wird die Mengenlehre mit Urelementen unterschieden durch angehangtes U Die Axiome von ZFU und ZFCU lauten abgesehen vom Leermengenaxiom verbal wie die Axiome von ZF oder ZFC werden aber wegen der anderen Rahmenbedingungen anders formalisiert ableitbare Mengenbedingungen konnen dabei entfallen ZFU Bearbeiten ZFU umfasst folgende Axiome Leermengenaxiom ist Urelement displaystyle emptyset text ist Urelement dd Axiom der Bestimmtheit abgeschwachtes Extensionalitatsaxiom A ist Menge B ist Menge A B C C A C B displaystyle A text ist Menge land B text ist Menge Rightarrow A B iff forall C colon C in A iff C in B dd Vereinigungsaxiom A B B ist Menge C C B D D A C D displaystyle forall A colon exists B colon B text ist Menge land forall C colon C in B iff exists D colon D in A land C in D dd Potenzmengenaxiom A P B B P B ist Menge C C B C A displaystyle forall A colon exists P colon forall B colon B in P iff B text ist Menge land forall C colon C in B Rightarrow C in A dd Unendlichkeitsaxiom A X A Y A Y X X X A X X A displaystyle exists A colon exists X in A colon forall Y in A colon lnot Y in X land forall X colon X in A Rightarrow X cup X in A dd Fundierungsaxiom X X A B B A C C A C B displaystyle exists X colon X in A Rightarrow exists B colon B in A land lnot exists C colon C in A land C in B dd Ersetzungsaxiom fur zweistellige Pradikate F X Y displaystyle F X Y X Y Z F X Y F X Z Y Z A B B ist Menge C C B D D A F D C displaystyle forall X Y Z colon F X Y land F X Z Rightarrow Y Z Rightarrow forall A colon exists B colon B text ist Menge wedge forall C colon C in B iff exists D colon D in A wedge F D C dd Aus den ZFU Axiomen und dem Axiom X X ist Menge displaystyle forall X colon X text ist Menge folgen offenbar die ZF Axiome Denn aus dem Ersetzungsaxiom ist wie in ZF siehe unten das Paarmengenaxiom ableitbar und auch das Aussonderungsaxiom letzteres hier in folgender Form fur jedes einstellige Pradikat P displaystyle P A B B ist Menge C C B C A P C displaystyle forall A colon exists B colon B text ist Menge land forall C colon C in B iff C in A land P C dd ZFCU Bearbeiten ZFCU umfasst die Axiome von ZFU und folgendes Auswahlaxiom A X X A Y Y X X Y Z X A Y A Z X Z Y X Y displaystyle forall A colon Big forall X colon X in A Rightarrow exists Y colon Y in X wedge forall X Y Z colon X in A wedge Y in A wedge Z in X wedge Z in Y Rightarrow X Y displaystyle Rightarrow B X X A Y Y X Y B displaystyle exists B colon forall X colon X in A Rightarrow exists Y colon Y in X wedge Y in B Big dd Vereinfachtes ZF System Redundanz BearbeitenDas ZF System ist redundant das heisst es hat entbehrliche Axiome die aus anderen ableitbar sind ZF bzw ZFU wird schon vollstandig beschrieben durch das Extensionalitatsaxiom Vereinigungsaxiom Potenzmengenaxiom Unendlichkeitsaxiom Fundierungsaxiom und Ersetzungsaxiom Das gilt wegen folgender Punkte Das Aussonderungsaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom Zermelo 5 6 7 Das Leermengenaxiom folgt aus dem Aussonderungsaxiom und der Existenz irgendeiner Menge welches sich aus dem Unendlichkeitsaxiom ergibt Das Paarmengenaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom und dem Potenzmengenaxiom Zermelo 5 7 Paarmengenaxiom Vereinigungsaxiom und Potenzmengenaxiom konnen auch aus der Aussage gewonnen werden dass jede Menge Element einer Stufe ist Unendlichkeitsaxiom und Ersetzungsaxiom sind im Rahmen der ubrigen Axiome aquivalent zum Reflexionsprinzip Durch Kombination dieser beiden Einsichten formulierte Dana Scott ZF zum aquivalenten Scottschen Axiomensystem um ZF System ohne Gleichheit BearbeitenMan kann ZF und ZFU auch auf einer Pradikatenlogik ohne Gleichheit aufbauen und die Gleichheit definieren Die Ableitung aller Gleichheitsaxiome sichert nur die in der Logik ubliche Identitatsdefinition 8 A B C A C B C C C A C B displaystyle A B iff forall C colon A in C iff B in C land forall C colon C in A iff C in B dd Zur Definition eignet sich nicht das Extensionalitatsaxiom Die Identitatsdefinition macht dieses Axiom nicht uberflussig weil es aus der Definition nicht ableitbar ware Eine Gleichheitsdefinition per Extensionalitat A B C C A C B displaystyle A B iff forall C colon C in A iff C in B ware als Alternative in ZF nur dann moglich wenn man das Axiom A B C A C B C displaystyle A B Rightarrow forall C colon A in C iff B in C hinzunahme was die Ableitbarkeit der obigen Formel sichert Diese Moglichkeit scheidet naturlich bei ZFU aus Nicht endliche Axiomatisierbarkeit BearbeitenDas Ersetzungsaxiom ist das einzige Axiomenschema in ZF wenn man die Redundanzen der Axiome beseitigt und sich auf ein System unabhangiger Axiome beschrankt Es lasst sich nicht durch endlich viele Einzelaxiome ersetzen ZF ist also im Gegensatz zu den Theorien Neumann Bernays Godel NBG und New Foundations NF nicht endlich axiomatisierbar 9 10 Literatur BearbeitenPrimarquellen chronologisch Bearbeiten Ernst Zermelo Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre 1907 In Mathematische Annalen 65 1908 S 261 281 Adolf Abraham Fraenkel Zu den Grundlagen der Cantor Zermeloschen Mengenlehre 1921 In Mathematische Annalen 86 1922 S 230 237 Adolf Fraenkel Zehn Vorlesungen uber die Grundlegung der Mengenlehre 1927 Unveranderter reprografischer Nachdruck Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1972 Thoralf Skolem Uber einige Grundlagenfragen der Mathematik 1929 In selected works in logic Oslo 1970 S 227 273 Ernst Zermelo Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche In Fundamenta Mathematicae 16 1930 PDF 1 5 MB S 29 47 Sekundarliteratur Bearbeiten Oliver Deiser Einfuhrung in die Mengenlehre Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo Springer Berlin Heidelberg 2004 ISBN 3 540 20401 6 Heinz Dieter Ebbinghaus Einfuhrung in die Mengenlehre Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin 2003 ISBN 3 8274 1411 3 Adolf Fraenkel Einleitung in die Mengenlehre Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1928 Neudruck Dr Martin Sandig oHG Walluf 1972 ISBN 3 500 24960 4 Paul R Halmos Naive Mengenlehre Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1968 ISBN 3 525 40527 8 Felix Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre Chelsea Publ Co New York 1914 1949 1965 Arnold Oberschelp Allgemeine Mengenlehre BI Wissenschaft Mannheim Leipzig Wien Zurich 1994 ISBN 3 411 17271 1 Einzelnachweise Bearbeiten David Hilbert Axiomatisches Denken In Mathematische Annalen 78 1918 S 405 415 Dort kommt auf Seite 411 die grundlegende Bedeutung der Widerspruchsfreiheit der Zermelo Mengenlehre fur die Mathematik zur Sprache Verbalisierung angelehnt an Fraenkel Zu den Grundlagen der Cantor Zermeloschen Mengenlehre 1921 In Mathematische Annalen 86 1922 S 231 Ernst Zermelo Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre In Mathematische Annalen 65 1908 S 262 1 2 Mengendefinition Ernst Zermelo Grenzzahlen und Mengenbereiche In Fundamenta Mathematicae 16 1930 S 30 Bemerkung in Axiom U An die Stelle der Nullmenge tritt hier ein beliebig ausgewahltes Urelement a b Ernst Zermelo Grenzzahlen und Mengenbereiche In Fundamenta Mathematicae 16 1930 Bemerkung S 31 Walter Felscher Naive Mengen und abstrakte Zahlen I Mannheim Wien Zurich 1978 S 62 a b Wolfgang Rautenberg Grundkurs Mengenlehre Fassung Berlin 2008 S 26 PDF 1 0 MB Walter Felscher Naive Mengen und abstrakte Zahlen I Mannheim Wien Zurich 1978 S 78f Robert Mac Naughton A non standard truth definition in Proceedings of the American Mathematical Society Bd 5 1954 S 505 509 Richard Montague Fraenkel s addition to the axioms of Zermelo in Essays on the Foundation of Mathematics S 91 114 Jerusalem 1961 Unzulangliche Beweise wurden 1952 von Mostowski und Hao Wang gegeben Weblinks BearbeitenLaura Crosilla Set Theory Constructive and Intuitionistic ZF In Edward N Zalta Hrsg Stanford Encyclopedia of Philosophy mathematik de MengenlehreAxiome und Axiomenschemata der Zermelo Fraenkel Mengenlehre Axiome Extensionalitatsaxiom Fundierungsaxiom Leermengenaxiom Paarmengenaxiom Vereinigungsaxiom Potenzmengenaxiom Unendlichkeitsaxiom Auswahlaxiom Axiomenschemata Aussonderungsaxiom Ersetzungsaxiom Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zermelo Fraenkel Mengenlehre amp oldid 221974412, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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