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Sei X 1 , X 2 , X 3 , {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots } eine Folge von Zufallsvariablen, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß P {\displaystyle P} alle dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen und unabhängig sind (u.i.v. = unabhängig und identisch verteilt, engl. i.i.d. = independent and identically distributed). Sei weiter angenommen, dass sowohl der Erwartungswert μ {\displaystyle \mu } als auch die Standardabweichung σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} existieren und endlich sind.

Betrachten wir nun die n {\displaystyle n} -te Teilsumme dieser Zufallsvariablen S n = X 1 + X 2 + + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}} . Der Erwartungswert von S n {\displaystyle S_{n}} ist n μ {\displaystyle n\mu } und die Varianz ist n σ 2 {\displaystyle n\sigma ^{2}} . Bildet man daraus die standardisierte Zufallsvariable

Z n = S n n μ σ n = 1 n S n μ σ n , {\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}S_{n}-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}},}

dann besagt der Zentrale Grenzwertsatz, dass die Verteilungsfunktion von Z n {\displaystyle Z_{n}} für n {\displaystyle n\to \infty } punktweise gegen die Verteilungsfunktion Φ {\displaystyle \Phi } der Standardnormalverteilung N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} konvergiert. Dies entspricht genau dem Begriff der Konvergenz in Verteilung in der Stochastik. Ist Φ {\displaystyle \Phi } die Verteilungsfunktion von N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} , dann bedeutet dies, dass für jedes reelle z {\displaystyle z}

lim n P ( Z n z ) = Φ ( z ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(Z_{n}\leq z)=\Phi (z).}

In etwas anderer Schreibweise erhält man

lim n P ( X ¯ n μ σ / n z ) = Φ ( z ) , {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left({\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z),}

wobei

X ¯ n = S n n = X 1 + + X n n {\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {S_{n}}{n}}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}}

der Mittelwert der ersten n {\displaystyle n} Summanden der Zufallsvariablen ist.

  • Der Zentrale Grenzwertsatz kann aber auch elementar, das heißt ohne das tiefliegende Hilfsmittel der charakteristischen Funktion, bewiesen werden. Dazu werden Erwartungswerte der Form E ( f ( Z n ) ) {\displaystyle \operatorname {E} (f(Z_{n}))} untersucht, die einerseits im Fall einer Indikatorfunktion f = 1 [ a , b ] {\displaystyle f=\mathbf {1} _{[a,b]}} eines abgeschlossenen Intervalls [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} der Wahrscheinlichkeit P ( a Z n b ) {\displaystyle P(a\leq Z_{n}\leq b)} entsprechen und andererseits in Fällen einer genügend glatten Funktion f {\displaystyle f} gut approximiert werden können. Dieses Verfahren eines elementaren Beweises stammt von Jarl Waldemar Lindeberg.
  • Endliche Stichprobenumfänge lassen die Frage nach der Konvergenzgüte aufsteigen. Unter bestimmten Bedingungen liefert der Satz von Berry-Esseen eine Antwort: Existiert das dritte zentrierte Moment E ( ( X 1 μ ) 3 ) {\displaystyle \operatorname {E} ((X_{1}-\mu )^{3})} und ist es endlich, dann ist die Konvergenz zur Normalverteilung gleichmäßig und die Konvergenzgeschwindigkeit wenigstens von der Ordnung 1 / n {\displaystyle 1/{\sqrt {n}}} .
  • Da für stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen die Summe wieder normalverteilt ist, gilt für diese der zentrale Grenzwertsatz im Endlichen, genauer ist Z n {\displaystyle Z_{n}} für jedes n {\displaystyle n} bereits standardnormalverteilt.
Hauptartikel: Zentrale Grenzwertsätze

Eine Verallgemeinerung des Zentralen Grenzwertsatzes ist der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz. Er liefert Aussagen über die Konvergenz der Verteilungen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Standardnormalverteilung.

Eine weitere Verallgemeinerung ist der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller. Er lässt auch gewisse Abhängigkeiten zwischen den Zufallsvariablen zu, indem er sie zu Gruppen zusammenfasst und die Unabhängigkeit nur innerhalb dieser Gruppen fordert. Die Folge dieser Gruppen wird ein Schema von Zufallsvariablen genannt. Die Lindeberg-Bedingung und die Ljapunow-Bedingung lassen sich auch für Schemata von Zufallsvariablen formulieren und liefern damit Kriterien für die Konvergenz bei Verwendung von Schemata.

  1. Zentraler Grenzwertsatz. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.
    George Pólya: Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem, Mathematische Zeitschrift, 8, 1920, S. 171–181 (online)
  3. Jarl Waldemar Lindeberg: Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift, Band 15, 1922, S. 211–225 (Online-Version).
    Siehe auch Jörg Bewersdorff: Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. Vieweg+Teubner Verlag 2011, ISBN 978-3-8348-1753-2, doi:10.1007/978-3-8348-8264-6, S. 139–146.
Normdaten (Sachbegriff): GND:4067618-3(OGND, AKS)

Zentraler Grenzwertsatz mathematischer Satz Sprache Beobachten Bearbeiten Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Zentraler Grenzwertsatz Begriffsklarung aufgefuhrt Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg Levy ist ein bedeutendes Resultat der Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Der zentrale Grenzwertsatz liefert die Begrundung fur das Phanomen dass sich bei der additiven Uberlagerung vieler kleiner unabhangiger Zufallseffekte zu einem Gesamteffekt zumindest approximativ eine Normalverteilung ergibt wenn keiner der einzelnen Effekte einen dominierenden Einfluss auf die Varianz besitzt 1 Annaherung von symmetrischen oben und schiefen unten Binomialverteilungen rot an die Normalverteilung grun Der Satz ist benannt nach Lindeberg und Levy Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen fur die eine identische Verteilung keine notwendige Voraussetzung ist Stattdessen wird dann eine andere Voraussetzung gefordert die sicherstellt dass keine der Variablen zu grossen Einfluss auf das Ergebnis erhalt Beispiele sind die Lindeberg Bedingung und die Ljapunow Bedingung Daruber hinausgehende Verallgemeinerungen gestatten sogar schwache Abhangigkeit der Zufallsvariablen Die Klasse der Verallgemeinerungen des zentralen Grenzwertsatzes wird zentrale Grenzwertsatze genannt Die Bezeichnung geht auf G Polyas Arbeit Uber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem von 1920 zuruck 2 Inhaltsverzeichnis 1 Der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik bei identischer Verteilung 2 Bemerkungen 3 Verallgemeinerungen 4 Literatur 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDer Zentrale Grenzwertsatz der Statistik bei identischer Verteilung BearbeitenSei X 1 X 2 X 3 displaystyle X 1 X 2 X 3 dots eine Folge von Zufallsvariablen die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P alle dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen und unabhangig sind u i v unabhangig und identisch verteilt engl i i d independent and identically distributed Sei weiter angenommen dass sowohl der Erwartungswert m displaystyle mu als auch die Standardabweichung s gt 0 displaystyle sigma gt 0 existieren und endlich sind Betrachten wir nun die n displaystyle n te Teilsumme dieser Zufallsvariablen S n X 1 X 2 X n displaystyle S n X 1 X 2 cdots X n Der Erwartungswert von S n displaystyle S n ist n m displaystyle n mu und die Varianz ist n s 2 displaystyle n sigma 2 Bildet man daraus die standardisierte Zufallsvariable Z n S n n m s n 1 n S n m s n displaystyle Z n frac S n n mu sigma sqrt n frac frac 1 n S n mu frac sigma sqrt n dann besagt der Zentrale Grenzwertsatz dass die Verteilungsfunktion von Z n displaystyle Z n fur n displaystyle n to infty punktweise gegen die Verteilungsfunktion F displaystyle Phi der Standardnormalverteilung N 0 1 displaystyle mathcal N 0 1 konvergiert Dies entspricht genau dem Begriff der Konvergenz in Verteilung in der Stochastik Ist F displaystyle Phi die Verteilungsfunktion von N 0 1 displaystyle mathcal N 0 1 dann bedeutet dies dass fur jedes reelle z displaystyle z lim n P Z n z F z displaystyle lim n to infty P Z n leq z Phi z In etwas anderer Schreibweise erhalt man lim n P X n m s n z F z displaystyle lim n rightarrow infty P left frac overline X n mu sigma sqrt n leq z right Phi z wobei X n S n n X 1 X n n displaystyle overline X n frac S n n frac X 1 cdots X n n der Mittelwert der ersten n displaystyle n Summanden der Zufallsvariablen ist Bemerkungen BearbeitenDer Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes erfolgt meist auf Basis allgemeiner Satze uber die Eigenschaften von charakteristischen Funktionen Auf deren Grundlage reicht es die Momente beziehungsweise Kumulanten der Folgenglieder Z n displaystyle Z n und so die Koeffizienten der Taylorreihe der charakteristischen Funktion zu bestimmen Letzteres ist aber einfach moglich siehe Artikel Kumulante Abschnitt Zentraler Grenzwertsatz Der Zentrale Grenzwertsatz kann aber auch elementar das heisst ohne das tiefliegende Hilfsmittel der charakteristischen Funktion bewiesen werden Dazu werden Erwartungswerte der Form E f Z n displaystyle operatorname E f Z n untersucht die einerseits im Fall einer Indikatorfunktion f 1 a b displaystyle f mathbf 1 a b eines abgeschlossenen Intervalls a b displaystyle a b der Wahrscheinlichkeit P a Z n b displaystyle P a leq Z n leq b entsprechen und andererseits in Fallen einer genugend glatten Funktion f displaystyle f gut approximiert werden konnen Dieses Verfahren eines elementaren Beweises stammt von Jarl Waldemar Lindeberg 3 Endliche Stichprobenumfange lassen die Frage nach der Konvergenzgute aufsteigen Unter bestimmten Bedingungen liefert der Satz von Berry Esseen eine Antwort Existiert das dritte zentrierte Moment E X 1 m 3 displaystyle operatorname E X 1 mu 3 und ist es endlich dann ist die Konvergenz zur Normalverteilung gleichmassig und die Konvergenzgeschwindigkeit wenigstens von der Ordnung 1 n displaystyle 1 sqrt n Da fur stochastisch unabhangige normalverteilte Zufallsvariablen die Summe wieder normalverteilt ist gilt fur diese der zentrale Grenzwertsatz im Endlichen genauer ist Z n displaystyle Z n fur jedes n displaystyle n bereits standardnormalverteilt Fur stochastisch unabhangige bernoulli verteilte Zufallsvariablen ist die Summe binomialverteilt und man erhalt als Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes den Satz von Moivre Laplace Verallgemeinerungen Bearbeiten Hauptartikel Zentrale Grenzwertsatze Eine Verallgemeinerung des Zentralen Grenzwertsatzes ist der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz Er liefert Aussagen uber die Konvergenz der Verteilungen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Standardnormalverteilung Eine weitere Verallgemeinerung ist der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg Feller Er lasst auch gewisse Abhangigkeiten zwischen den Zufallsvariablen zu indem er sie zu Gruppen zusammenfasst und die Unabhangigkeit nur innerhalb dieser Gruppen fordert Die Folge dieser Gruppen wird ein Schema von Zufallsvariablen genannt Die Lindeberg Bedingung und die Ljapunow Bedingung lassen sich auch fur Schemata von Zufallsvariablen formulieren und liefern damit Kriterien fur die Konvergenz bei Verwendung von Schemata Literatur BearbeitenHans Fischer A History of the Central Limit Theorem From Classical to Modern Probability Theory New York 2011 ISBN 978 0 387 87856 0 doi 10 1007 978 0 387 87857 7 Siehe auch BearbeitenStandardnormalverteilungstabelleWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Central Limit Theorem In MathWorld englisch Yu V Prokhorov Central limit theorem In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 978 1 55608 010 4 englisch online Beispiel zur Verdeutlichung des Zentralen Grenzwertsatzes Interaktives Experiment zum Zentralen GrenzwertsatzEinzelnachweise Bearbeiten a b Zentraler Grenzwertsatz In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Jeff Miller Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics George Polya Uber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem Mathematische Zeitschrift 8 1920 S 171 181 online Jarl Waldemar Lindeberg Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Mathematische Zeitschrift Band 15 1922 S 211 225 Online Version Siehe auch Jorg Bewersdorff Statistik wie und warum sie funktioniert Ein mathematisches Lesebuch Vieweg Teubner Verlag 2011 ISBN 978 3 8348 1753 2 doi 10 1007 978 3 8348 8264 6 S 139 146 Normdaten Sachbegriff GND 4067618 3 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentraler Grenzwertsatz amp oldid 222492834, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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