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Das deutsche Wort Zahl geht vermutlich auf das urgermanische Wort *talō (Berechnung, Zahl, Rede) zurück, das vermutlich Wurzel der althochdeutschen Wörter zala (Ordnung, geordnete Darlegung, Bericht, Aufzählung) und zalōn (berichten, rechnen, zählen, berechnen, zahlen) ist. Aus zala wurde im Mittelhochdeutschen zale oder zal, auf das das heutige Wort Zahl zurückgeht.

Das urgermanische Wort findet seinen Ursprung vermutlich in einem urindogermanischen Etymon *del- (zielen, berechnen, nachstellen). Auch ein Zusammenhang mit dem urindogermanischen *del- (spalten) ist möglich; die ursprüngliche Bedeutung wäre dann möglicherweise „eingekerbtes Merkzeichen“.

Vorgeschichte

Über das Zahlenverständnis von Menschen in der Zeit vor einer ersten schriftlichen Überlieferung lässt sich wegen fehlender Belege kaum Sicheres sagen. Die Bedeutung regelmäßiger Anordnungen von Strichen oder Kerben, die sich aus dieser Zeit erhalten haben, kann in der Regel nur vermutet werden.

Hinweise zur Vorstellung von Zahlen in einer vorgeschichtlichen Kultur können hingegen die jeweiligen Sprachen möglichst früher, geschichtlich dokumentierter Nachfolgerkulturen oder auch heute noch existierende, verwandte Sprachen sowie die bekannten Sprachen von alten, ähnlichen Kulturen geben. Durch systematische Vergleiche verschiedener Sprachen können Übereinstimmungen und Unterschiede zwischen diesen festgestellt werden, so dass die Eigenheiten jeder Sprache und Sprachgruppe ermittelt sowie gemeinsame oder verschiedene Herkünfte in gewissem Umfang gefunden werden können. So ergeben sich auch bei den Zahlwörtern Strukturen, die Rückschlüsse auf das Zahlenverständnis erlauben.

Der fundamentale und überall in menschlichen Sprachen erkennbare Zahlbegriff – die Vorstellung von Zahlen – ist der von der unterschiedlich großen Anzahl bzw. Menge bestimmter Gegenstände, was am ehesten in der heutigen Mathematik dem Begriff der Kardinalzahl entspricht. Am Anfang wird wohl der elementare Gegensatz von Einzahl und Mehrzahl gestanden haben, dem die weitere Aufteilung der Mehrzahl folgte. In der Sprache der Pirahã in Brasilien etwa sind lediglich drei oder sogar nur zwei Wörter („wenig“ und „viel“) für relative Größenangaben bekannt. Versuche, manchen Vertretern dieses Volkes das Zählen beizubringen, schlugen fehl. Es gibt auch ethnologische Berichte über ein Volk in Südafrika und von vielen Völkern australischer Ureinwohner, die in ihren Sprachen jeweils nur die Zahlwörter „ein“, „zwei“ und „viel“ kennen. Das Gleiche findet sich auch in indoeuropäischen Sprachen in Form des Singulars, des Duals (z. B. im Griechischen, im Latein und früher auch in germanischen Sprachen) und des Plurals von Substantiven wieder.

Um „viel“ weiter unterscheiden und genauere Anzahlen sagen zu können, bildeten andere Völker weitere Zahlwörter. Bis höchstens zehn (für größere Zahlen würden die Zahlwörter zu lang werden) ist dies einfach dadurch möglich, dass „zwei“ additiv so oft wiederholt wird, wie sie in der entsprechenden Zahl enthalten ist, und bei einer ungeraden Zahl wird noch ein „ein“ hinzugefügt. Einen anderen Weg, Wörter für größere Zahlen zu erhalten, haben Sprachen beschritten, die für kleinere Zahlen zusätzliche eigene Worte wie „drei“, „vier“ oder „fünf“ erfanden und diese wiederum additiv oder multiplikativ, z. B. „vier-zwei“ für acht, zu neuen größeren Zahlen verbanden. Für die Bildung von wesentlich größeren Zahlen als zehn wird es notwendig, große Zahlen zu neuen, größeren Einheiten zusammenzufassen und für diese neue Zahlworte zu finden, etwa in Stufen zu „zehn“, „hundert“ usw.

Auf diese Art lassen sich so große Zahlen bilden, dass es für deren genaue Erfassung erforderlich wird, eine entsprechende Anzahl von Gegenständen zu zählen. Dabei muss jedoch noch keine Trennung der Zahlen von der Art der gezählten Gegenstände vorliegen: bei manchen Sprachen gibt es so genannte Zählklassen, die für die gleiche Zahl jeweils ein eigenes Zahlwort haben. So benutzt man für die gleiche Anzahl Lebewesen ein anderes Wort als bei langen Gegenständen, bei runden Gegenständen ein drittes Wort und bei noch anderen Gegenständen weitere Wörter.

Mit der Loslösung von der Art der Gegenstände, also wenn unabhängig von den gezählten Gegenständen das gleiche Zahlwort für die gleiche Anzahl benutzt wird, erhalten Zahlen Selbstständigkeit und werden als etwas Eigenes aufgefasst. Bei indoeuropäischen Sprachen ist dies allgemein für Zahlen größer als vier zu beobachten. Hier scheint es ursprünglich eine Stufung mit vier gegeben zu haben, später wurden die Zahlen offenbar noch in mehreren Schritten erweitert (das erkennt man z. B. im Deutschen am Unterschied zwischen „dreizehn“ und „dreiundzwanzig“). Neben Zusammenfassungen von jeweils zwei, drei oder vier treten weltweit auch häufig noch Sprachen auf mit Stufen von fünf, zehn, zwölf oder zwanzig sowie mit Mischformen von diesen.

Erste Hochkulturen

Fragment des Papyrus Rhind, pBM 10057

Der nach der letzten Kaltzeit (nach 10.000 v. Chr.) in der Mittelsteinzeit einsetzende Klimawandel führte zur Austrocknung großer Gebiete von der Sahara im Westen bis zur Mongolischen Steppe im Osten. Die zunehmende Bevölkerung der betroffenen Gebiete wanderte in die Flussoasen, wo sich mit der Zeit differenziertere städtische Gesellschaften entwickelten. Mit der Erfindung der Schrift bei den frühen Hochkulturen an Euphrat und Tigris (Mesopotamien), am Nil (Altes Ägypten), am Indus (Indus-Kultur) und am Gelben Fluss (Altes China) begann zwischen dem Ende des 4. und dem Anfang des 3. Jahrtausends v. Chr. die geschichtliche Zeit. Von Beginn an entstanden zusammen mit der Schrift auch Zahlzeichen, da offenbar beides zur Verwaltung der immer stärker organisierten Gesellschaften benötigt wurde.

Im alten Ägypten fand spätestens seit ca. 3000 v. Chr. zur Darstellung natürlicher Zahlen ein additives Zahlensystem zur Basis 10 Verwendung. Dort wurden bereits die Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division betrieben. Für die ersteren beiden gab es besondere Schriftzeichen. Besonders bedeutsame Zeugnisse mathematischer Fähigkeiten dieser Kultur sind der Moskauer Papyrus und der Papyrus Rhind – beide in hieratischer Schrift verfasst in der Zeit zwischen 2000 v. Chr. und 1800 v. Chr. Aus diesem lässt sich über die natürlichen Zahlen hinausgehend eine besondere Notation für Stammbrüche entnehmen. Andere Verhältnisse wurden systematisch in Summen von Stammbrüchen überführt ( 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} besaß jedoch auch ein eigenes Zeichen). Motivation der altägyptischen Mathematik waren meist Bauwesen, Landvermessung und Wirtschaft, Beweise finden sich nicht. Jedoch finden sich auch Probleme, die als humorvoll oder unterhaltsam intendiert interpretiert werden.

Ebenfalls gibt es reichhaltige mathematische Zeugnisse aus dem Mesopotamien des Altertums. In sumerischer Zeit entwickelte sich dort ein additives Zahlensystem, basierend auf den Basen 10 und 60. Aus altbabylonischer Zeit zwischen 1.800 und 1.600 v. Chr. gibt es zahlreiche Funde mit weitergehenden Errungenschaften: Es entstand ein sexagesimales Stellenwertsystem, jedoch mit der Einschränkung, dass es keine Ziffer Null gab und die Notation daher uneindeutig war. Innerhalb dieses Systems wurden auch allgemeinere rationale Zahlen in einer der heute gebräuchlichen Dezimalbruchentwicklung entsprechenden Weise dargestellt, d. h., es konnten etwa 1 60 {\displaystyle {\tfrac {1}{60}}} - und 1 3600 {\displaystyle {\tfrac {1}{3600}}} -Stellen gebraucht werden. Auf diese Weise nicht darstellbare Brüche oder (in moderner Sprechweise) Logarithmen, wie sie bei der Zinsrechnung auftraten, wurden näherungsweise dargestellt. In Gestalt des babylonischen Wurzelziehens wurden auch systematische Approximationen vorgenommen. Zudem wurden Lösungen für quadratische, kubische und biquadratische Gleichungen gefunden. Diese Gleichungen wurden mit geometrischen Begriffen beschrieben (ein in moderner Sprechweise in solchen Gleichungen auftretendes Quadrat wurde als Flächeninhalt beschrieben, von dem etwa eine Seitenlänge subtrahiert wird, dass als Flächeninhalte und als Längen bezeichnete Größen addiert werden konnten, legt jedoch ein recht abstraktes, algebraisches Verständnis nahe). Diese Errungenschaften entstammten praktischen Bedürfnissen von Wirtschaft, Bauwesen und Astronomie.

Antikes Griechenland

Aus dem antiken Griechenland sind eine Vielzahl mathematischer Erkenntnisse überliefert. Erstmals (soweit bekannt) kam es hier zum ausgeprägten Verständnis von Beweisen, durch die die Ergebnisse in einer der heutigen Mathematik nahekommenden Strenge bewiesen wurden. Besondere Bedeutung hatte ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. die Schule der Pythagoreer, gegründet von Pythagoras von Samos (ca. 570–510 v. Chr.), der vermutlich durch Reisen nach Ägypten, Mesopotamien und evtl. Indien beeinflusst war. In dieser religiösen Gruppierung trennte sich die Mathematik vom aus den Notwendigkeiten des Alltags entspringenden Rechnen, wobei (natürliche) Zahlen eine zentrale Rolle spielten. Die Überlieferungslage bezüglich dieser Zeit der Mathematikgeschichte, den mutmaßlich etwas früher lebenden Thales von Milet mit eingeschlossen, ist allerdings noch dünn, die meisten Dokumente stammen aus späterer Zeit, so dass sich nicht sicher sagen lässt, welche Konzepte dort schon bekannt waren, und mit welcher Methodik verfahren wurde.

Aus nicht vollständig geklärten Gründen legte die darauffolgende griechische Mathematik großen Wert auf die Geometrie, trotz des Einflusses der Pythagoreer, unter denen die Arithmetik als grundlegend aufgefasst worden war. Bedeutende Protagonisten waren hier Eudoxos von Knidos (* zw. ca. 397 und 390 v. Chr., † zw. ca. 345 und 338 v. Chr.) und Euklid (ca. 360–280 v. Chr.).

Bezüglich des Zahlbegriffs der Griechen muss festgestellt werden, dass sie nicht über ein Konzept rationaler Zahlen als algebraische Objekte oder Erweiterung der natürlichen Zahlen verfügten. Die aus moderner Sicht oft als Aussagen über solche interpretierten Ergebnisse wurden geometrisch als Aussagen über Längen- und Flächenverhältnisse formuliert: Eine Länge oder Fläche konnte ein ganzzahliges Vielfaches einer anderen sein, dementsprechend lassen sich Verhältnisse zwischen zwei solchen Vielfachen einer Länge oder Fläche im heutigen Verständnis als (positive – mit negativen Zahlen vergleichbare Konzepte waren nicht vorhanden) rationale Zahlen beschreiben, im griechischen Verständnis von Zahlen waren sie jedoch nicht enthalten. Erst recht gab es keine irrationalen Zahlen in der griechischen Mathematik – es traten lediglich geometrische Verhältnisse auf, die keinem Verhältnis von zwei ganzzahligen Vielfachen einer Größe entsprachen; man spricht von Inkommensurabilität. Selbst die Eins wurde bei Euklid nicht zu den Zahlen gezählt.

Die Existenz der inkommensurablen Verhältnisse war spätestens seit Aristoteles (384–322 v. Chr.), der einen recht allgemeinen Beweis lieferte, womöglich aber schon vor 400 v. Chr. in Griechenland bekannt. Dies zeigte die Unmöglichkeit des pythagoreischen Ansatzes, die in der Geometrie auftretenden Verhältnisse mittels der Arithmetik zu beschreiben – in heutiger Begrifflichkeit eine Unzulänglichkeit der rationalen Zahlen. Der Übergang zu einer geometrischen Grundlegung, die den Umgang mit solchen Verhältnissen erlaubte, wird maßgeblich auf Eudoxos zurückgeführt, der selbst noch Schüler des bedeutenden Pythagoreers Archytas von Tarent gewesen war, der die Arithmetik als einzige mögliche Grundlage für Beweise ansah.

Eudoxos lieferte eine Definition der Gleichheit zweier geometrischer Verhältnisse (von Längen oder Flächen): Zwei Verhältnisse sind demzufolge gleich, wenn alle – in moderner Interpretation – rationalen Verhältnisse, die kleiner bzw. größer sind als das eine Verhältnis, auch kleiner bzw. größer sind als das andere. Diese Definition gilt sogar analog für den heutigen Begriff der reellen Zahlen. Einige Stimmen sahen oder sehen hierin bereits ein Vorhandensein der reellen Zahlen in der griechischen Mathematik. Diese Aussagen sind jedoch problematisch: Zum einen war eben nicht einmal das Konzept der rationalen Zahlen vorhanden, zum anderen wurde nichts darüber ausgesagt, dass bestimmte Verhältnisse existieren, so dass diese etwa ordnungsvollständig sind, sondern vielmehr durch die Geometrie gegebene Verhältnisse untersucht. In jedem Fall ermöglichte diese Definition eine Vielzahl von Beweisen, deren Techniken wie die Exhaustionsmethode als Vorläufer heutiger Begriffe der Analysis gelten, wobei gewisse Abschätzungen bereits eine zentrale Rolle spielten. Zudem war Richard Dedekind bei seiner Definition der reellen Zahlen eigenen Angaben zufolge durch Eudoxos inspiriert.

Archimedes, ein Gemälde von Domenico Fetti aus dem Jahr 1620

Archimedes von Syrakus (287–212 v. Chr.), der aufbauend auf Eudoxos besonders weitreichende Beweise für bestimmte geometrische Verhältnisse sowie bestimmte Näherungen lieferte, gilt auch als erste Person, die infinitesimale Größen einführte: Im Archimedes-Palimpsest wandte er ein Prinzip vergleichbar dem Prinzip von Cavalieri an, bei dem eine Fläche in unendlich viele infinitesimale Linien zerlegt wird. Eine solche Vorgehensweise entsprach schon damals nicht den Ansprüchen an einen mathematischen Beweis, Archimedes sah in diesem mechanisch motivierten Verfahren jedoch ein nützliches Werkzeug, um an ein Problem heranzugehen und später einfacher einen korrekten Beweis finden zu können. Die Existenz von von Null verschiedenen infinitesimalen Größen widerspricht der Definition des Eudoxos von Gleichheit und auch dem von Archimedes selbst aufgestellten sogenannten Archimedischen Axiom.

Der Begriff der Zahl ist nicht mathematisch definiert, sondern ein gemeinsprachlicher Oberbegriff für verschiedene mathematische Konzepte. Daher gibt es im mathematischen Sinn keine Menge aller Zahlen oder dergleichen. Die Mathematik spricht, wenn sie sich mit Zahlen befasst, stets über bestimmte wohldefinierte Zahlbereiche, d. h. nur über bestimmte Objekte unseres Denkens mit festgelegten Eigenschaften, die zusammenfassend alle als Zahlen bezeichnet werden. Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts werden in der Mathematik Zahlen rein mittels der Logik unabhängig von Vorstellungen von Raum und Zeit definiert. Grundsteine wurden hier von Richard Dedekind und Giuseppe Peano mit der Axiomatisierung der natürlichen Zahlen (Siehe Peano-Axiome) gelegt. Dedekind schreibt zu diesem neuen Ansatz:

„Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden. So einleuchtend diese Forderung erscheint, so ist sie doch, wie ich glaube, selbst bei der Begründung der einfachsten Wissenschaft, nämlich desjenigen Theiles der Logik, welcher die Lehre von den Zahlen behandelt, auch nach den neuesten Darstellungen noch keineswegs als erfüllt anzusehen. […] die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen.“

Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vorwort zur ersten Auflage.

Zu unterscheiden sind axiomatische Definitionen von mengentheoretischen Definitionen von Zahlen: Im ersteren Fall wird die Existenz gewisser Objekte mit auf ihnen definierten Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften in Form von Axiomen postuliert, so etwa auch bei den frühen Axiomatisierungen der natürlichen und der reellen Zahlen durch Peano und Dedekind. In der Folge der Entwicklung der Mengenlehre durch Georg Cantor ging man dazu über, zu versuchen, sich auf mengentheoretische Axiome zu beschränken, wie es in der Mathematik heute etwa mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) üblich ist. Die Existenz gewisser Zahlenmengen und Verknüpfungen über ihnen mit gewissen Eigenschaften wird dann aus diesen Axiomen gefolgert. Mitunter wird ein Zahlbereich als eine bestimmte Klasse definiert. Die axiomatische Mengenlehre versucht, eine einzige, einheitliche formale Grundlage für die gesamte Mathematik zu sein. Innerhalb ihrer lässt sich auf reichhaltige Weise mit den Zahlbereichen umgehen. Formuliert wird sie in der Regel in der Prädikatenlogik erster Stufe, die die Struktur der mathematischen Sätze sowie die Möglichkeiten zur Schlussfolgerung aus den Axiomen festlegt.

Elementares Beispiel einer mengentheoretischen Definition einer Menge von Zahlen ist die von John von Neumann eingeführte Definition der natürlichen Zahlen als die kleinste induktive Menge, deren Existenz im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom postuliert wird.

Als mengentheoretische Konzepte werden Ordinal- und Kardinalzahlen in aller Regel mengentheoretisch definiert, ebenso die Verallgemeinerung der surrealen Zahlen.

Die Peano-Axiome etwa und die auf Dedekind zurückgehende Definition der reellen Zahlen basieren im Gegensatz zu ZFC auf der Prädikatenlogik zweiter Stufe. Während die Prädikatenlogik erster Stufe eine klare, allgemein akzeptierte Antwort darauf liefert, wie gültige Schlüsse vorzunehmen sind, wobei diese sich systematisch berechnen lassen, führen Versuche, dies für die Prädikatenlogik zweiter Stufe zu klären, meist dazu, dass eine komplexe Metatheorie eingeführt werden muss, die ihrerseits mengentheoretische Begriffe metasprachlich einführt und von deren Details die in der Folge erschlossenen Möglichkeiten der Folgerung in der Prädikatenlogik zweiter Stufe abhängen. ZFC ist ein Kandidat für eine solche Theorie. Diese Einschränkungen lassen die Prädikatenlogik zweiter Stufe in einem Teil der Philosophie der Mathematik ungeeignet erscheinen, auf grundlegender Ebene verwendet zu werden. Die Prädikatenlogik erster Stufe dagegen ist nicht hinreichend, um gewisse wichtige intuitive Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu formulieren und (bei Betrachtung dieser in einer mengentheoretischen Metatheorie, etwa aufgrund des Satzes von Löwenheim-Skolem die Abzählbarkeit) sicherzustellen.

Die Mathematik untersucht Beziehungen zwischen mathematischen Objekten und beweist strukturelle Eigenschaften in diesen Beziehungen. Elementare Beispiele für zwischen Zahlen definierte Beziehungen sind etwa die allgemein bekannten Rechenoperationen (Grundrechenarten) über den rationalen Zahlen (Brüche), Vergleiche („kleiner“, „größer“, „größer gleich“ etc.) zwischen rationalen Zahlen und die Teilbarkeitsrelation zwischen ganzen Zahlen („3 ist ein Teiler von 9“). Zudem werden Eigenschaften über bestimmten Zahlen definiert, zum Beispiel ist über den ganzen Zahlen die Eigenschaft definiert, eine Primzahl zu sein.

Solche Verknüpfungen sind nicht als vom Zahlbegriff unabhängige willkürliche Operationen zu verstehen, vielmehr werden bestimmte Zahlbereiche meist untrennbar von bestimmten Verknüpfungen betrachtet, da diese die zu untersuchende Struktur maßgeblich bestimmen. Spricht man etwa über die natürlichen Zahlen, gebraucht man fast immer zumindest auch ihre Ordnung („ 1 < 5 {\displaystyle 1<5} “, „ 12 < 19 {\displaystyle 12<19} “), welche maßgeblich unseren Begriff von natürlichen Zahlen bestimmt.

In der Schulmathematik, der Informatik und der numerischen Mathematik befasst man sich mit Verfahren, um solche Verknüpfungen auf konkreten Darstellungen von Zahlen auszuwerten (Rechnen). Als Beispiel sei hier die schriftliche Addition genannt: Unter Verwendung der Darstellung von Zahlen in einem Stellenwertsystem ist es hier möglich, durch systematisches Abarbeiten der Ziffern eine Darstellung für die Summe der beiden Zahlen zu erlangen. In der Informatik und der numerischen Mathematik werden solche Verfahren entwickelt und auf ihre Leistungsfähigkeit hin untersucht. Einige solcher Verfahren sind von fundamentaler Bedeutung für die heutigen Computer.

In der abstrakten Algebra befasst man sich mit der Struktur von Verallgemeinerungen solcher Zahlbereiche, wobei nur noch das Vorhandensein von Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften über einer beliebigen Menge von Objekten vorausgesetzt wird, welche die Struktur der Verknüpfungen nicht eindeutig bestimmen, sondern viele verschiedene konkrete Strukturen mit diesen Eigenschaften (Modelle) zulassen (siehe algebraische Struktur). Ihre Resultate lassen sich auf konkrete Zahlbereiche anwenden, die wiederum in der abstrakten Algebra als Motivation und elementare Beispiele dienen können.

Die Zahlentheorie behandelt Eigenschaften (im weiteren Sinne) von Zahlen, etwa Existenz, Häufigkeit und Verteilung von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften. Eigenschaften transfiniter (in bestimmten Sinnen „unendlicher“) Zahlen sind allerdings Gegenstand der Mengenlehre.

In der Mathematik werden solche Verknüpfungen, Beziehungen und Eigenschaften als Prädikate oder Relationen, einschließlich Funktionen, aufgefasst.

Einige wichtige Zahlbereiche seien hier in ihrem mathematischen Kontext vorgestellt. Im Laufe der Geschichte der Mathematik wurden immer weitere Zahlbereiche eingeführt, um gegenüber bisherigen Zahlbereichen bestimmte Probleme allgemeiner behandeln zu können. Insbesondere wurden bestehende Zahlbereiche durch Hinzufügen zusätzlicher Elemente zu neuen Zahlbereichen erweitert, um über gewisse Operationen allgemeiner sprechen zu können, siehe hierzu auch den Artikel zur Zahlbereichserweiterung.

Zum Begriff des Zahlbereichs siehe den Abschnitt zur Definition.

Natürliche Zahlen

Hauptartikel: Natürliche Zahl

Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, … oder 0, 1, 2, 3, 4, 5, … bilden diejenige Menge von Zahlen, die üblicherweise zum Zählen verwendet wird, wobei je nach Definition die Null mit eingeschlossen wird oder nicht. Die natürlichen Zahlen sind mit einer Ordnung („kleiner“) versehen. Es gibt ein kleinstes Element (je nach Definition die Null oder die Eins), und jedes Element hat einen Nachfolger und ist kleiner als sein Nachfolger. Indem man ausgehend vom kleinsten Element immer wieder den Nachfolger bildet, erreicht man schließlich jede natürliche Zahl und sukzessive immer weitere, so dass es ihrer unendlich viele gibt. Die natürlichen Zahlen sind zudem mit Addition und Multiplikation versehen, je zwei natürlichen Zahlen lassen sich damit eine Summe und ein Produkt zuordnen, die wieder natürliche Zahlen sind. Diese Operationen sind assoziativ und kommutativ, zudem sind sie im Sinne des Distributivgesetzes miteinander verträglich: a ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c} . Diese drei Eigenschaften sind auch grundlegend für viele allgemeinere Zahlbereiche wie die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Die Ordnung der natürlichen Zahlen ist in gewisser Hinsicht mit der Addition und Multiplikation verträglich: Sie ist verschiebungsinvariant, d. h., für natürliche Zahlen m , n , o {\displaystyle m,n,o} folgt aus m n {\displaystyle m\leq n} auch m + o n + o {\displaystyle m+o\leq n+o} , zusätzlich zur Verschiebungsinvarianz folgt auch m o n o {\displaystyle m\cdot o\leq n\cdot o} .

Die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen wird in der Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom sichergestellt.

Diese Menge wird mit N {\displaystyle \mathbb {N} } oder N {\displaystyle \mathbf {N} } bezeichnet.

Ganze Zahlen

Hauptartikel: Ganze Zahl

In der Menge der natürlichen Zahlen existiert für zwei Zahlen n < m {\displaystyle n<m} keine natürliche Zahl d {\displaystyle d} , sodass m + d = n {\displaystyle m+d=n} . Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen so, dass für zwei beliebige Elemente eine solche Zahl d {\displaystyle d} existiert. Hierzu fügt man die negativen Zahlen den natürlichen Zahlen hinzu: Zu jeder natürlichen Zahl n {\displaystyle n} existiert eine zweite ganze Zahl n {\displaystyle -n} , so dass n + ( n ) = 0 {\displaystyle n+(-n)=0} , welche als additives Inverses bezeichnet wird. Die obige Zahl d {\displaystyle d} , genannt Differenz, ist dann als n + ( m ) {\displaystyle n+(-m)} , kurz n m {\displaystyle n-m} , gegeben. Hierdurch ist die Subtraktion auf den ganzen Zahlen definiert, die jedoch im Wesentlichen eine Kurzschreibweise darstellt.

Die Ordnung über den natürlichen Zahlen wird auf die ganzen Zahlen erweitert. Hierbei gibt es kein kleinstes Element mehr; dafür hat jedes Element einen Vorgänger und einen Nachfolger (der Vorgänger der 0 {\displaystyle 0} ist die 1 {\displaystyle -1} , der der 1 {\displaystyle -1} die 2 {\displaystyle -2} etc.). Die Verträglichkeit mit der Addition, die Verschiebungsinvarianz, bleibt dabei erhalten. Zudem ist das Produkt von zwei ganzen Zahlen größer Null stets wiederum größer Null.

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z {\displaystyle \mathbb {Z} } oder Z {\displaystyle \mathbf {Z} } bezeichnet.

Rationale Zahlen

Hauptartikel: Rationale Zahl

Ebenso wie die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert werden, um ein additives Inverses und die Subtraktion zu erhalten, erweitert man die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen, um ein multiplikatives Inverses und die Division zu erhalten. D. h., die rationalen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen, und zu jeder ganzen Zahl z 0 {\displaystyle z\neq 0} fügt man die 1 z {\displaystyle {\tfrac {1}{z}}} genannte Zahl (Stammbruch) als multiplikatives Inverses hinzu, so dass z 1 z = 1 {\displaystyle \textstyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1} . Zudem soll das Produkt zweier beliebiger rationaler Zahlen definiert sein, allgemein erhält man rationale Zahlen der Form x y = x 1 y {\displaystyle \textstyle {\frac {x}{y}}=x\cdot {\frac {1}{y}}} , genannt Bruch, wobei eine ganze Zahl z {\displaystyle z} mit dem Bruch z 1 {\displaystyle \textstyle {\frac {z}{1}}} identifiziert wird. Für ganze Zahlen t 0 {\displaystyle t\neq 0} werden die Brüche x y {\displaystyle \textstyle {\frac {x}{y}}} und t x t y {\displaystyle \textstyle {\frac {t\cdot x}{t\cdot y}}} miteinander identifiziert; diese Identifizierung wird auch als Erweitern und Kürzen bezeichnet. Somit erhält man eine mit der Multiplikation ganzer Zahlen kompatible Multiplikation und Division.

Mittels der Dezimalbruchdarstellung lässt sich eine mit der Ordnung der ganzen Zahlen kompatible Ordnung definieren, die auch die Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation erhält.

Die rationalen Zahlen bilden einen (geordneten) Körper. Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen wird verallgemeinert als Quotientenkörperbildung zu einem Ring.

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q {\displaystyle \mathbb {Q} } oder Q {\displaystyle \mathbf {Q} } bezeichnet. In der (deutschen) Schulmathematik kommt daneben die Bezeichnung B ( := Q 0 + ) {\displaystyle \mathbb {B} (:=\mathbb {Q} _{0}^{+})} vor („Menge der (positiven) Bruchzahlen“), wenn die positiven Brüche vor den negativen ganzen Zahlen eingeführt werden.

Algebraische Erweiterungen

Mit der Addition und Multiplikation ganzer oder rationaler Zahlen lassen sich sogenannte Polynomfunktionen definieren: Jeder ganzen bzw. rationalen Zahl wird dabei eine Summe von Potenzen multipliziert mit konstanten Zahlen (Koeffizienten) zugeordnet. Etwa einer beliebigen Zahl x {\displaystyle x} der Wert 12 x 0 + 4 x 2 + ( 1 2 ) x 3 {\displaystyle \textstyle 12\cdot x^{0}+4\cdot x^{2}+\left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot x^{3}} definiert als 12 + 4 x x + ( 1 2 ) x x x {\displaystyle \textstyle 12+4\cdot x\cdot x+\left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot x\cdot x\cdot x} . Für viele solcher Polynomfunktionen existiert keine rationale Zahl, so dass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle gleich Null wird (Nullstelle). Fügt man nun Nullstellen bestimmter Polynomfunktionen den rationalen Zahlen hinzu, wobei Multiplikation und Addition wohldefiniert bleiben, erhält man eine algebraische Erweiterung. Erweitert man die rationalen Zahlen um solche Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, erhält man die algebraischen Zahlen. Erweitert man die ganzen Zahlen um Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, deren Koeffizienten ganzzahlig sind und deren Koeffizient zur höchsten Potenz 1 {\displaystyle 1} ist, so erhält man die ganzalgebraischen Zahlen.

Algebraische Erweiterungen werden in der Körpertheorie, insbesondere in der Galois-Theorie, untersucht.

Reelle Zahlen

Hauptartikel: Reelle Zahlen

Betrachtet man Probleme wie etwa das Finden von Nullstellen von Polynomfunktionen über den rationalen Zahlen, stellt man fest, dass sich in den rationalen Zahlen beliebig gute Näherungen konstruieren lassen: Etwa findet sich bei zahlreichen Polynomfunktionen zu jeder festgelegten Toleranz eine rationale Zahl, so dass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle höchstens um die Toleranz von der Null abweicht. Zudem kann man die Näherungslösungen so wählen, dass sie „nah beieinander“ liegen, denn Polynomfunktionen sind stetig („weisen keine ‚Sprünge‘ auf“). Dieses Verhalten tritt nicht nur bei Nullstellen von Polynomfunktionen auf, sondern auch bei zahlreichen weiteren mathematischen Problemen, die eine gewisse Stetigkeit aufweisen, so dass man dazu übergeht, die Existenz einer Lösung zu garantieren, sobald beliebig gute Näherungen durch nahe beieinander gelegene rationale Zahlen existieren. Eine solche Lösung nennt man eine reelle Zahl. Um die Existenz solcher Lösungen zu zeigen, reicht es, zu fordern, dass es zu jeder Menge rationaler Zahlen, die nicht beliebig große Zahlen enthält, unter den reellen Zahlen, die größer oder gleich als all diese Elemente der Menge sind, eine kleinste gibt. Alternativ lassen sich die reellen Zahlen explizit als Folgen von rationalen Zahlen, die sich einander „annähern“, definieren.

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar. Daher ist es nicht möglich, jede beliebige reelle Zahl sprachlich eindeutig zu beschreiben.

Die Abgeschlossenheit der reellen Zahlen unter solchen Näherungsprozessen bezeichnet man als Vollständigkeit. Diese erlaubt es, zahlreiche Begriffe aus der Analysis, wie den der Ableitung und den des Integrals, über Grenzwerte zu definieren. Grenzwerte erlauben zudem die Definition zahlreicher wichtiger Funktionen, etwa der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens etc.), was über den rationalen Zahlen nicht möglich ist.

Die reellen Zahlen behalten maßgebliche Eigenschaften der Addition, Multiplikation und der Ordnung in den rationalen Zahlen und bilden somit ebenfalls einen geordneten Körper. Sie lassen sich nicht erweitern, ohne diese Eigenschaft oder das archimedische Axiom zu verletzen, also „unendlich kleine strikt positive Zahlen“ einzuführen.

Die Idee des Übergangs von den rationalen zu den reellen Zahlen wird durch verschiedene Konzepte der Vervollständigung verallgemeinert.

Die Menge der reellen Zahlen wird mit R {\displaystyle \mathbb {R} } oder R {\displaystyle \mathbf {R} } bezeichnet.

Komplexe Zahlen

Hauptartikel: Komplexe Zahlen

Manche Polynomfunktionen besitzen keine Nullstellen in den reellen Zahlen. Beispielsweise nimmt die Funktion x x 2 + 1 {\displaystyle x\mapsto x^{2}+1} für jede reelle Zahl x {\displaystyle x} einen Wert größer als Null an. Es lässt sich zeigen, dass durch Hinzufügen einer Zahl i {\displaystyle i} , genannt imaginäre Einheit, die die Gleichung i 2 + 1 = 0 {\displaystyle i^{2}+1=0} erfüllt, wobei die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation erhalten bleiben sollen, bereits die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert werden, in denen alle nicht konstanten Polynomfunktionen eine Nullstelle besitzen. Die komplexen Zahlen bilden damit den algebraischen Abschluss der reellen Zahlen. Grenzwertprozesse sind in den komplexen Zahlen ebenso möglich wie in den reellen Zahlen, jedoch sind die komplexen Zahlen nicht mehr geordnet. Sie lassen sich als Ebene (zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen) auffassen. Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in der Form a + b i {\displaystyle a+b\cdot i} „darstellen“, wobei a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} reelle Zahlen sind und i {\displaystyle i} die imaginäre Einheit bezeichnen.

Die Funktionentheorie ist das Teilgebiet der Analysis, das sich mit den analytischen Eigenschaften von Funktionen über den komplexen Zahlen befasst.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C {\displaystyle \mathbb {C} } oder C {\displaystyle \mathbf {C} } bezeichnet.

Ordinalzahlen und Kardinalzahlen

Die Ordinal- und Kardinalzahlen sind Konzepte aus der Mengenlehre. In der Mengenlehre definiert man die Kardinalität einer Menge als Kardinalzahl, die Kardinalität ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der „Anzahl der Elemente“ einer endlichen Menge auf unendliche Mengen. Die Kardinalitäten endlicher Mengen sind somit natürliche Zahlen, die auch in den Kardinalzahlen enthalten sind.

Ordinalzahlen verallgemeinern das Konzept der „Position in einer (wohlgeordneten) Menge“ auf unendliche Mengen. Ordinalzahlen beschreiben dann eindeutig die Position eines Elementes in einer solchen Wohlordnung. Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet, so dass die Reihenfolge von wohlgeordneten Objekten der Reihenfolge der ihnen zugeordneten „Positionen“ (also Ordinalzahlen) entspricht. Für Positionen in Anordnungen endlich vieler Objekte lassen sich natürliche Zahlen verwenden, die den kleinsten Ordinalzahlen entsprechen.

Kardinalzahlen werden heutzutage als spezielle Ordinalzahlen definiert, wodurch sie ebenfalls eine Ordnung erhalten. Neben der Ordnung sind auf Kardinalzahlen und Ordinalzahlen auch Addition, Multiplikation und Potenzierung definiert, die eingeschränkt auf die natürlichen Zahlen mit den üblichen Begriffen für natürliche Zahlen übereinstimmen, siehe hierzu Kardinalzahlarithmetik und transfinite Arithmetik.

Sowohl die Ordinalzahlen als auch die Kardinalzahlen bilden echte Klassen, das heißt, sie sind im Sinne der modernen Mengenlehre keine Mengen.

Hyperreelle Zahlen

Hauptartikel: Hyperreelle Zahlen

Die hyperreellen Zahlen sind eine Verallgemeinerung der reellen Zahlen und Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Sie erlauben die Definition von Begriffen aus der Analysis, etwa die der Stetigkeit oder der Ableitung, ohne die Verwendung von Grenzwerten.

Hyperkomplexe Zahlen

Hauptartikel: Hyperkomplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen lassen sich als zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen auffassen (siehe Gaußsche Zahlenebene), das heißt als zweidimensionale Ebene, bei der neben der üblichen koordinatenweisen Addition eine Multiplikation zwischen zwei Punkten der Ebene definiert ist. Es gibt zahlreiche ähnliche Strukturen, die man unter dem Begriff hyperkomplexe Zahlen zusammenfasst. Diese Strukturen sind in der Regel endlichdimensionale Vektorräume über den reellen Zahlen (vorstellbar als zwei- oder höherdimensionaler Raum) mit einer zusätzlichen Multiplikation. Oftmals lassen sich die reellen Zahlen selbst in diese Strukturen einbetten, wobei die Multiplikation eingeschränkt auf die reellen Zahlen der üblichen Multiplikation von reellen Zahlen entspricht.

Weitere Gruppen von Zahlen

  • p-adische Zahl, eine Verallgemeinerung der rationalen Zahlen unter Miteinbeziehung von unendlich vielen „Vorkomma-Stellen“, die in der Zahlentheorie Verwendung findet.
  • Surreale Zahl, eine Verallgemeinerung der hyperreellen Zahlen und der Ordinalzahlen mit Anwendungen in der Spieltheorie.
  • Restklassenringe können als Einschränkungen der ganzen Zahlen auf die ersten endlich vielen Elemente mit entsprechend definierter Arithmetik aufgefasst werden. Ihre Elemente werden mitunter auch als Zahlen bezeichnet.
Hauptartikel: Zahldarstellung

In der Mathematik spricht man mittels der Sprache der Logik über in dieser definierte mathematische Objekte wie etwa Zahlen, mit ihr lassen sich auch konkrete Zahlen mitunter eindeutig beschreiben, unter Umständen mittels Formeln. Über die gängigen logischen Formalismen hinaus existieren jedoch systematische Bezeichnungen für bestimmte Zahlen, etwa in Form von speziellen Kombinationen von Schriftzeichen (mitunter eigens dafür verwendete Ziffern) oder mittels besonders konstruierter Wörter der natürlichen Sprache, wie etwa Numerale. Bezeichnungen für bestimmte Zahlen werden außerhalb der Mathematik verwendet, um konkrete Beobachtungen zu beschreiben, etwa eine Anzahl beobachteter Objekte (Ich sehe fünf Bananen) oder mittels eines anderen Messverfahrens bestimmte Messwerte (Der Türrahmen ist zwei Meter hoch). Des Weiteren erlauben solch systematische Zahldarstellungen mitunter einfaches, systematisches Rechnen mit konkreten Zahlen – gerade auch durch Rechenmaschinen und Computer. Die Rechenverfahren zur Berechnung gewisser Operationen zwischen konkreten Zahlen hängen von der gewählten Darstellung ab.

In der Kultur- und Mathematikgeschichte haben sich zahlreiche Zahlensysteme zu solchen systematischen Zahldarstellungen entwickelt. Belege für die Darstellung von Zahlen reichen bis in die späte Steinzeit zurück, wobei Schwierigkeiten bestehen, Zahlzeichen von bloßen Zählzeichen zu unterscheiden, das heißt zu erkennen, ob den Menschen Zahlen als abstrakte Bedeutung jener bewusst waren, oder nur eine werkzeugartige Verwendung vorlag, bei denen die physische Konstruktion des Zählzeichens, nicht aber eine Bedeutung relevant war, seine Aufgabe zu erfüllen. Zu dieser Problematik siehe etwa den Artikel zum Ishango-Knochen, einem Fund aus der späten Altsteinzeit, der verschiedenartige Interpretationen zulässt.

Beispiele für solche Darstellungen sind Strichlisten (Unärsystem) und die Ziffernfolgen verwendenden Stellenwertsysteme, wie sie heute für die Darstellung natürlicher Zahlen üblich sind und auch für die Zahldarstellung in Computern in Form des Dualsystems verwendet werden.

Betrachtet man sprachliche Darstellungen von Zahlen formal, so lässt sich nicht jeder Zahl eine solche Darstellung in einem formalen Sinne zuordnen, d. h., in einem mathematischen formalen Sinne existieren mehr Zahlen als mögliche Darstellungen in einer Sprache: Da sprachliche Formulierungen stets endlich sind, kann es von ihnen nur abzählbar viele verschiedene geben, während die Mathematik auch überabzählbare Zahlbereiche betrachtet. Man spricht dennoch auch von Darstellungen überabzählbarer Zahlbereiche, wenn man sich bei solchen formalen Darstellungen nicht mehr auf zu sprachlichen Formulierungen korrespondierende beschränkt, in ihrer Struktur können sie jedoch den Zahlensystemen ähneln, etwa lassen sich die reellen Zahlen als spezielle formale Reihen definieren, welche der Darstellung in Stellenwertsystemen strukturell ähneln.

Beispiele

Einige Beispiele für Darstellungen von Zahlen:

  • „Vier“ bezeichnet im Deutschen als Zahlwort eine Zahl.
  • Diese Zahl lässt sich als Strichliste |||| darstellen.
  • In der indisch-arabischen Zahlschrift wird sie als 4 dargestellt.
  • In der römischen Zahlschrift wird sie als IV dargestellt.
  • Als Formel lässt sie sich z. B. als 1 + 1 + 1 + 1 {\displaystyle 1+1+1+1} darstellen, was einer mathematischen Definition gleichkommt, falls die Eins und die Addition zuvor definiert worden sind.
  • Fasst man die natürlichen Zahlen als algebraische Struktur versehen mit Multiplikation und Addition auf, so lässt sich die Eins als einzige natürliche Zahl x {\displaystyle x} definieren, so dass x x = x {\displaystyle x\cdot x=x} und x + x x {\displaystyle x+x\neq x} , das Symbol 1 {\displaystyle 1} steht dann für eine beliebige natürliche Zahl, die diese Bedingung erfüllt, und ist damit eindeutig.
  • Definiert man natürliche Zahlen mengentheoretisch in der Variante von John von Neumann, so lässt sich die Vier über die übliche Darstellung endlicher Mengen als { , { } , { , { } } , { , { } , { , { } } } } {\displaystyle \left\{\emptyset ,\left\{\emptyset \right\},\left\{\emptyset ,\left\{\emptyset \right\}\right\},\left\{\emptyset ,\left\{\emptyset \right\},\left\{\emptyset ,\left\{\emptyset \right\}\right\}\right\}\right\}} darstellen.
  • Rationale Zahlen lassen sich als Brüche darstellen, z. B. 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} .
  • Lösungen quadratischer Gleichungen über den rationalen Zahlen lassen sich als Formeln, bestehend aus Addition, Multiplikation und Quadratwurzelbildung rationaler Zahlen darstellen. Beispielsweise beschreibt die Formel 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} eine Lösung der Gleichung x 2 = 2 {\displaystyle x^{2}=2} für die Variable x {\displaystyle x} .
  • Komplexe Zahlen werden oft als Summe von Realteil und dem Imaginärteil multipliziert mit der imaginären Einheit dargestellt, etwa 4 3 + 9 2 i {\displaystyle \textstyle -{\frac {4}{3}}+{\frac {9}{2}}\cdot i} .
  • Im Dualsystem wird die natürliche Zahl Neun als 1001 {\displaystyle 1001} dargestellt, dies entspricht der Darstellung als Formel 1 2 2 2 + 0 2 2 + 0 2 + 1 {\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 2\cdot 2+0\cdot 2+1} .
  • Jede reelle Zahl lässt sich als Reihe z + i = 1 a i 2 i {\displaystyle \textstyle z+\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\cdot 2^{-i}} mit einer ganzen Zahl z {\displaystyle z} und Koeffizienten a i { 0 , 1 } {\displaystyle a_{i}\in \left\{0,1\right\}} „darstellen“, solche Darstellungen sind jedoch im Allgemeinen nicht endlich beschreibbar, da es überabzählbar viele mögliche „Belegungen“ der Koeffizienten gibt. Falls a i {\displaystyle a_{i}} für hinreichend große i {\displaystyle i} stets Null wird, entsprechen die a i {\displaystyle a_{i}} dem Nachkommateil in einer Darstellung im Dualsystem (etwa 0,101 {\displaystyle 0{,}101} für 0,625 {\displaystyle 0{,}625} ).

Ebenso wie Zahlen sprachliche Ausdrücke, Zeichenketten oder dergleichen zugeordnet werden, können umgekehrt Zahlen bestimmten Objekten zugeordnet werden, zum einen für abstrakte Überlegungen, zum anderen, um Darstellungen von Zahlen konkret zur systematischen Bezeichnung von anderen Objekten einzusetzen, etwa Information mittels Zahlen zu kodieren. Solches Vorgehen erlaubt die Anwendung von den auf Zahlen definierten Operationen auf diese Bezeichnungen. Ein verbreitetes Beispiel ist die Nummerierung, bei der jedem Objekt einer bestimmten betrachteten Gesamtheit eine (meist natürliche) Zahl zugeordnet wird: Dies erlaubt zum einen die Benennung der Objekte mittels ihrer Nummern, und schafft zum anderen mittels der auf den natürlichen Zahlen definierten Ordnung („kleiner“) eine Ordnung der Objekte; dies erlaubt etwa im Falle natürlicher Zahlen ein sequentielles Durchgehen aller Objekte. Zu beachten ist, dass nicht jede Nummer eine Zahl als von der Darstellung unabhängiges mathematisches Objekt ist. Manche Nummern sind als spezielle Symbolfolgen zu verstehen, die als Identifikatoren dienen, selbst wenn sie nur aus Ziffern bestehen (z. B. ISB-, Versicherungs- oder Steuernummern).

Ein anderes Beispiel ist die Interpretation digitaler Information in der Datenverarbeitung: Als binäre Folge vorliegende Daten können auf natürliche Weise als natürliche Zahl, dargestellt im Dualsystem, interpretiert werden (Randfälle wie führende Nullen müssen dabei beachtet werden). Arithmetische Operationen über dieser Kodierung als Zahl werden u. a. in der Kryptographie und der Datenkompression eingesetzt.

Auch in der reinen Mathematik finden sich Anwendungen dieses Prinzips, wobei üblicherweise nicht als Zahlen aufgefassten mathematischen Objekten Zahlen zugeordnet werden, etwa in Form von Gödelnummern, die logische Formeln oder Algorithmen identifizieren.

Weitere Beispiele sind die Repräsentation von Spielsituationen mittels surrealer Zahlen in der Spieltheorie, die Darstellung von Drehstreckungen im zweidimensionalen euklidischen Raum durch komplexe Zahlen sowie Drehungen im Dreidimensionalen mittels Quaternionen.

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Wiktionary: Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  1. John Bigelow, Sam Butchart: Number. In: Donald M. Borchert (Hrsg.): Encyclopedia of Philosophy. 2005, ISBN 0-02-866072-2.
  2. Schon der Neandertaler war kreativ. RP online, abgerufen am 5. März 2022.
  3. Merzbach, Boyer, S. 198.
  4. Vladimir Orel: A Handbook of Germanic Etymology. Brill, Leiden 2003, S. 400 f.; archive.org
  5. August Fick: Wörterbuch der Indogermanischen Sprachen. Dritter Teil: Wortschatz der Germanischen Spracheinheit. (PDF; 2,7 MB). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1909.
  6. Zahl. In: Jacob Grimm, Wilhelm Grimm (Hrsg.): Deutsches Wörterbuch.Band31: Z–Zmasche – (XV). S. Hirzel, Leipzig 1956,Sp.36–42 (woerterbuchnetz.de).
  7. Julius Pokorny: Indogermanisches etymologisches Wörterbuch. Francke, Bern 1959, Band I, S. 193; archive.org, Datenbankeintrag
  8. Friedrich Kluge, Elmar Seebold: Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache. 24. Auflage. de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017472-3., S. 1002.
  9. Zahl. In: Duden, abgerufen am 11. Juni 2012.
  10. Flegg, S. 7 ff.
  11. Ebbinghaus et al., S. 311
  12. Vogel, I, S. 14
  13. Michael C. Frank, Daniel L. Everett, Evelina Fedorenko, Edward Gibson: Number as a cognitive technology: Evidence from Pirahã language and cognition. In: Cognition.Band108,Nr.3. Elsevier, 2008,S.819–824, doi:10.1016/j.cognition.2008.04.007 (stanford.edu [PDF;328kB; abgerufen am 23. Dezember 2012]).
  14. Daniel L. Everett: Cultural Constraints on Grammar and Cognition in Pirahã. Another Look at the Design Features of Human Language. In: Current Anthropology.Band46,Nr.4. The Wenner-Gren Foundation for Anthropological Research, 2005 (pnglanguages.org [PDF;961kB; abgerufen am 23. Dezember 2012]).
  15. Flegg, S. 7 ff.
  16. Vogel, I, S. 14
  17. Flegg, S. 56 ff.
  18. Flegg, S. 7 ff.
  19. Vogel, I, S. 15
  20. Vogel, I, S. 15
  21. Vogel, I, S. 14
  22. Vogel, I, S. 15
  23. Vogel, I, S. 15
  24. Flegg, S. 7 ff.
  25. Werner Hilgemann, Hermann Kinder: dtv-Atlas zur Weltgeschichte. 37. Auflage.Band1. dtv, München 2004, ISBN 978-3-423-03001-4,S.13ff.
  26. dtv-Atlas zur Weltgeschichte.Band1,S.17.
  27. dtv-Atlas zur Weltgeschichte.Band1,S.16f.
  28. Dieter Vieweger: Archäologie der biblischen Welt. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2003, ISBN 978-3-423-03001-4,S.337ff.
  29. Merzbach, Boyer, S. 10
  30. Howard Eves: An introduction to the history of mathematics. 3. Auflage. Saunders College Pub., Philadelphia 1990, ISBN 0-03-029558-0,S.39.
  31. Eves, S. 38.
  32. Wußing, S. 121.
  33. Wußing, S. 118.
  34. Merzbach, Boyer, S. 14.
  35. Eves, S. 40–41.
  36. Merzbach, Boyer, S. 23–27.
  37. Wußing, S. 140.
  38. Merzbach, Boyer, S. 28–29.
  39. Wußing, S. 142.
  40. Merzbach, Boyer, S. 38.
  41. Merzbach, Boyer, S. 44.
  42. Merzbach, Boyer, S. 45.
  43. Wußing, S. 174.
  44. Merzbach, Boyer, S. 47.
  45. Ebbinghaus, S. 26–27.
  46. Matvievskaya, S. 253.
  47. Wußing, S. 165.
  48. David E. Joyce: Elemente – Buch 7, Definition 8.1. Abgerufen am 22. Dezember 2012.
  49. Merzbach, Boyer, S. 70.
  50. Merzbach, Boyer, S. 65–67.
  51. Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.Band1. Oxford University Press, New York / Oxford 1972, ISBN 0-19-506135-7,S.48–49.
  52. Ebbinghaus, S. 26–27.
  53. Brad Rogers: A History of Real Numbers, and the First Crisis of Western Knowledge. (PDF; 94 kB) (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vomOriginal am3. Dezember 2011; abgerufen am 22. Dezember 2012.
  54. Wußing, S. 263.
  55. John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Eudoxus of Cnidus. In:MacTutor History of Mathematics archive.
  56. Reviel Netz: Methods of Infinity. The Archimedes Palimpsest Project, abgerufen am 7. November 2012.
  57. Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? 2. unv. Auflage. Verlag Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1893, S. 7–8.
  58. Jouko Väänänen: Second-Order Logic and Foundations of Mathematics. 2001,S.19 (math.helsinki.fi [PDF;194kB; abgerufen am 2. Mai 2013]).
  59. Stewart Shapiro: Foundations without Foundationalism. A Case for Second-order Logic. Oxford University Press, Oxford 1991, ISBN 0-19-853391-8,S.vii, 204ff.

Zahl abstraktes mathematisches Objekt Sprache Beobachten Bearbeiten Dieser Artikel behandelt den mathematischen Begriff Zahl Zu anderen Bedeutungen siehe Zahl Begriffsklarung Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens die sich historisch aus Vorstellungen von Grosse und Anzahl entwickelten Durch eine Messung wird ein als Grosse verstandener Aspekt einer Beobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht beispielsweise bei einer Zahlung Sie spielen daher fur die empirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle 1 Ubersicht uber einige gangige Zahlbereiche A B displaystyle A subset B bedeutet dass die Elemente des Zahlbereiches A displaystyle A unter Beibehaltung wesentlicher Beziehungen auch als Elemente des Zahlbereichs B displaystyle B aufgefasst werden konnen Echte Klassen sind in blau markiert In der Mathematik die Zahlen und ihre Struktur formal untersucht schliesst der Begriff verschiedenartige Konzepte mit ein Diese entwickelten sich als Verallgemeinerungen bestehender intuitiver Zahlkonzepte so dass man sie ebenfalls als Zahlen bezeichnet obwohl sie wenig Bezug zu den ursprunglich mit Messungen verbundenen Konzepten haben Manche dieser Konzepte sind in der Mathematik von grundlegender Bedeutung und finden Verwendung in nahezu allen Teilgebieten In die Urgeschichte zuruck reicht das Konzept der naturlichen Zahlen die zum Zahlen verwendet werden konnen und grundlegende Bedeutung besitzen Bereits die Neandertaler schufen vor ca 68 000 Jahren in Hohlen abstrakte Zahldarstellungen zwei senkrechte Striche bzw rot markierte Finger von Stalagmiten Handen 2 Ab etwa 2000 v Chr rechneten Agypter und Babylonier mit Bruchzahlen rationalen Zahlen In Indien entwickelte sich im 7 Jahrhundert n Chr ein Verstandnis der Null und der negativen Zahlen 3 Irrationale Zahlen wie 2 displaystyle sqrt 2 oder 5 displaystyle sqrt 5 deren Notwendigkeit sich aus Erkenntnissen aus dem antiken Griechenland ergab spatestens ab dem 4 Jahrhundert v Chr wurden in der Blutezeit des Islam eingefuhrt Die Idee imaginarer Zahlen durch die die reellen Zahlen spater zu den bedeutenden komplexen Zahlen erweitert wurden reicht in die europaische Renaissance zuruck Der Begriff der reellen Zahl konnte erst im 19 Jahrhundert hinreichend geklart werden Ende des 19 Jahrhunderts konnte erstmals auch unendlichen Grossen ein praziser Sinn als Zahlen gegeben werden Auch wurden erstmals die naturlichen Zahlen axiomatisch definiert Mit den Anfang des 20 Jahrhunderts geschaffenen ersten zufriedenstellenden Grundlagen der Mathematik erfuhren auch die bedeutendsten Zahlbegriffe eine dem heutigen Stand entsprechende vollstandig formale Definition und Bedeutung Vom Begriff der Zahl abzugrenzen sind Ziffern spezielle Zahlzeichen zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendete Schriftzeichen Zahlschriften Schreibweisen von Zahlen z B mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln Zahlworter Numerale zur Benennung bestimmter Zahlen verwendete Worter und Nummern Identifikatoren die selbst Zahlen oder aber in der Regel Ziffern enthaltende Zeichenketten sein konnen Inhaltsverzeichnis 1 Etymologie 2 Geschichte 2 1 Vorgeschichte 2 2 Erste Hochkulturen 2 3 Antikes Griechenland 3 Definition von Zahlen 4 Verknupfungen von Zahlen 5 Zahlbereiche 5 1 Naturliche Zahlen 5 2 Ganze Zahlen 5 3 Rationale Zahlen 5 4 Algebraische Erweiterungen 5 5 Reelle Zahlen 5 6 Komplexe Zahlen 5 7 Ordinalzahlen und Kardinalzahlen 5 8 Hyperreelle Zahlen 5 9 Hyperkomplexe Zahlen 5 10 Weitere Gruppen von Zahlen 6 Darstellung von Zahlen 6 1 Beispiele 7 Zahlen als Bezeichnung 8 Siehe auch 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseEtymologie BearbeitenDas deutsche Wort Zahl geht vermutlich auf das urgermanische Wort talō Berechnung Zahl Rede 4 5 zuruck das vermutlich Wurzel der althochdeutschen Worter zala Ordnung geordnete Darlegung Bericht Aufzahlung 6 und zalōn berichten rechnen zahlen 6 berechnen zahlen 7 ist Aus zala wurde im Mittelhochdeutschen zale oder zal 6 auf das das heutige Wort Zahl zuruckgeht Das urgermanische Wort findet seinen Ursprung vermutlich in einem urindogermanischen Etymon del zielen berechnen nachstellen 7 4 Auch ein Zusammenhang mit dem urindogermanischen del spalten 7 ist moglich die ursprungliche Bedeutung ware dann moglicherweise eingekerbtes Merkzeichen 8 9 Geschichte Bearbeiten Hauptartikel Geschichte der Mathematik und Null Die Geschichte der Null Vorgeschichte Bearbeiten Uber das Zahlenverstandnis von Menschen in der Zeit vor einer ersten schriftlichen Uberlieferung lasst sich wegen fehlender Belege kaum Sicheres sagen Die Bedeutung regelmassiger Anordnungen von Strichen oder Kerben die sich aus dieser Zeit erhalten haben kann in der Regel nur vermutet werden Hinweise zur Vorstellung von Zahlen in einer vorgeschichtlichen Kultur konnen hingegen die jeweiligen Sprachen moglichst fruher geschichtlich dokumentierter Nachfolgerkulturen oder auch heute noch existierende verwandte Sprachen sowie die bekannten Sprachen von alten ahnlichen Kulturen geben Durch systematische Vergleiche verschiedener Sprachen konnen Ubereinstimmungen und Unterschiede zwischen diesen festgestellt werden so dass die Eigenheiten jeder Sprache und Sprachgruppe ermittelt sowie gemeinsame oder verschiedene Herkunfte in gewissem Umfang gefunden werden konnen So ergeben sich auch bei den Zahlwortern Strukturen die Ruckschlusse auf das Zahlenverstandnis erlauben 10 Der fundamentale und uberall in menschlichen Sprachen erkennbare Zahlbegriff die Vorstellung von Zahlen ist der von der unterschiedlich grossen Anzahl bzw Menge bestimmter Gegenstande was am ehesten in der heutigen Mathematik dem Begriff der Kardinalzahl entspricht 11 Am Anfang wird wohl der elementare Gegensatz von Einzahl und Mehrzahl gestanden haben dem die weitere Aufteilung der Mehrzahl folgte 12 In der Sprache der Piraha in Brasilien etwa sind lediglich drei oder sogar nur zwei Worter wenig und viel fur relative Grossenangaben bekannt 13 Versuche manchen Vertretern dieses Volkes das Zahlen beizubringen schlugen fehl 14 Es gibt auch ethnologische Berichte uber ein Volk in Sudafrika und von vielen Volkern australischer Ureinwohner 15 die in ihren Sprachen jeweils nur die Zahlworter ein zwei und viel kennen Das Gleiche findet sich auch in indoeuropaischen Sprachen in Form des Singulars des Duals z B im Griechischen im Latein und fruher auch in germanischen Sprachen und des Plurals von Substantiven wieder 16 17 Um viel weiter unterscheiden und genauere Anzahlen sagen zu konnen bildeten andere Volker weitere Zahlworter 18 Bis hochstens zehn fur grossere Zahlen wurden die Zahlworter zu lang werden ist dies einfach dadurch moglich dass zwei additiv so oft wiederholt wird wie sie in der entsprechenden Zahl enthalten ist und bei einer ungeraden Zahl wird noch ein ein hinzugefugt Einen anderen Weg Worter fur grossere Zahlen zu erhalten haben Sprachen beschritten die fur kleinere Zahlen zusatzliche eigene Worte wie drei vier oder funf erfanden und diese wiederum additiv oder multiplikativ z B vier zwei fur acht 19 zu neuen grosseren Zahlen verbanden Fur die Bildung von wesentlich grosseren Zahlen als zehn wird es notwendig grosse Zahlen zu neuen grosseren Einheiten zusammenzufassen und fur diese neue Zahlworte zu finden 20 etwa in Stufen zu zehn hundert usw Auf diese Art lassen sich so grosse Zahlen bilden dass es fur deren genaue Erfassung erforderlich wird eine entsprechende Anzahl von Gegenstanden zu zahlen Dabei muss jedoch noch keine Trennung der Zahlen von der Art der gezahlten Gegenstande vorliegen bei manchen Sprachen gibt es so genannte Zahlklassen die fur die gleiche Zahl jeweils ein eigenes Zahlwort haben 21 So benutzt man fur die gleiche Anzahl Lebewesen ein anderes Wort als bei langen Gegenstanden bei runden Gegenstanden ein drittes Wort und bei noch anderen Gegenstanden weitere Worter Mit der Loslosung von der Art der Gegenstande also wenn unabhangig von den gezahlten Gegenstanden das gleiche Zahlwort fur die gleiche Anzahl benutzt wird erhalten Zahlen Selbststandigkeit und werden als etwas Eigenes aufgefasst Bei indoeuropaischen Sprachen ist dies allgemein fur Zahlen grosser als vier zu beobachten Hier scheint es ursprunglich eine Stufung mit vier gegeben zu haben 22 spater wurden die Zahlen offenbar noch in mehreren Schritten erweitert das erkennt man z B im Deutschen am Unterschied zwischen dreizehn und dreiundzwanzig Neben Zusammenfassungen von jeweils zwei drei oder vier treten weltweit auch haufig noch Sprachen auf mit Stufen von funf zehn zwolf oder zwanzig sowie mit Mischformen von diesen 23 24 Erste Hochkulturen Bearbeiten Fragment des Papyrus Rhind pBM 10057 Der nach der letzten Kaltzeit nach 10 000 v Chr 25 in der Mittelsteinzeit einsetzende Klimawandel 26 fuhrte zur Austrocknung grosser Gebiete von der Sahara im Westen bis zur Mongolischen Steppe im Osten Die zunehmende Bevolkerung der betroffenen Gebiete wanderte in die Flussoasen wo sich mit der Zeit differenziertere stadtische Gesellschaften entwickelten Mit der Erfindung der Schrift bei den fruhen Hochkulturen an Euphrat und Tigris Mesopotamien am Nil Altes Agypten am Indus Indus Kultur und am Gelben Fluss Altes China begann zwischen dem Ende des 4 und dem Anfang des 3 Jahrtausends v Chr die geschichtliche Zeit 27 28 Von Beginn an entstanden zusammen mit der Schrift auch Zahlzeichen da offenbar beides zur Verwaltung der immer starker organisierten Gesellschaften benotigt wurde Im alten Agypten fand spatestens seit ca 3000 v Chr zur Darstellung naturlicher Zahlen ein additives Zahlensystem zur Basis 10 Verwendung 29 Dort wurden bereits die Grundrechenarten der Addition Subtraktion Multiplikation und Division betrieben Fur die ersteren beiden gab es besondere Schriftzeichen 30 Besonders bedeutsame Zeugnisse mathematischer Fahigkeiten dieser Kultur sind der Moskauer Papyrus und der Papyrus Rhind beide in hieratischer Schrift verfasst in der Zeit zwischen 2000 v Chr und 1800 v Chr Aus diesem lasst sich uber die naturlichen Zahlen hinausgehend eine besondere Notation fur Stammbruche entnehmen Andere Verhaltnisse wurden systematisch in Summen von Stammbruchen uberfuhrt 2 3 displaystyle tfrac 2 3 besass jedoch auch ein eigenes Zeichen 31 Motivation der altagyptischen Mathematik waren meist Bauwesen Landvermessung und Wirtschaft Beweise finden sich nicht 32 Jedoch finden sich auch Probleme die als humorvoll oder unterhaltsam intendiert interpretiert werden 33 34 35 Ebenfalls gibt es reichhaltige mathematische Zeugnisse aus dem Mesopotamien des Altertums In sumerischer Zeit entwickelte sich dort ein additives Zahlensystem basierend auf den Basen 10 und 60 Aus altbabylonischer Zeit zwischen 1 800 und 1 600 v Chr gibt es zahlreiche Funde mit weitergehenden Errungenschaften Es entstand ein sexagesimales Stellenwertsystem jedoch mit der Einschrankung dass es keine Ziffer Null gab und die Notation daher uneindeutig war Innerhalb dieses Systems wurden auch allgemeinere rationale Zahlen in einer der heute gebrauchlichen Dezimalbruchentwicklung entsprechenden Weise dargestellt d h es konnten etwa 1 60 displaystyle tfrac 1 60 und 1 3600 displaystyle tfrac 1 3600 Stellen gebraucht werden Auf diese Weise nicht darstellbare Bruche oder in moderner Sprechweise Logarithmen wie sie bei der Zinsrechnung auftraten wurden naherungsweise dargestellt In Gestalt des babylonischen Wurzelziehens wurden auch systematische Approximationen vorgenommen 36 Zudem wurden Losungen fur quadratische kubische und biquadratische Gleichungen gefunden Diese Gleichungen wurden mit geometrischen Begriffen beschrieben ein in moderner Sprechweise in solchen Gleichungen auftretendes Quadrat wurde als Flacheninhalt beschrieben von dem etwa eine Seitenlange subtrahiert wird dass als Flacheninhalte und als Langen bezeichnete Grossen addiert werden konnten legt jedoch ein recht abstraktes algebraisches Verstandnis nahe 37 38 Diese Errungenschaften entstammten praktischen Bedurfnissen von Wirtschaft Bauwesen und Astronomie 39 Antikes Griechenland Bearbeiten Aus dem antiken Griechenland sind eine Vielzahl mathematischer Erkenntnisse uberliefert Erstmals soweit bekannt kam es hier zum ausgepragten Verstandnis von Beweisen 40 durch die die Ergebnisse in einer der heutigen Mathematik nahekommenden Strenge bewiesen wurden Besondere Bedeutung hatte ab dem 6 Jahrhundert v Chr die Schule der Pythagoreer gegrundet von Pythagoras von Samos ca 570 510 v Chr der vermutlich durch Reisen nach Agypten Mesopotamien und evtl Indien beeinflusst war 41 In dieser religiosen Gruppierung trennte sich die Mathematik vom aus den Notwendigkeiten des Alltags entspringenden Rechnen 42 wobei naturliche Zahlen eine zentrale Rolle spielten Die Uberlieferungslage bezuglich dieser Zeit der Mathematikgeschichte den mutmasslich etwas fruher lebenden Thales von Milet mit eingeschlossen ist allerdings noch dunn die meisten Dokumente stammen aus spaterer Zeit so dass sich nicht sicher sagen lasst welche Konzepte dort schon bekannt waren und mit welcher Methodik verfahren wurde 43 Aus nicht vollstandig geklarten Grunden legte die darauffolgende griechische Mathematik grossen Wert auf die Geometrie trotz des Einflusses der Pythagoreer unter denen die Arithmetik als grundlegend aufgefasst worden war 44 Bedeutende Protagonisten waren hier Eudoxos von Knidos zw ca 397 und 390 v Chr zw ca 345 und 338 v Chr und Euklid ca 360 280 v Chr Bezuglich des Zahlbegriffs der Griechen muss festgestellt werden dass sie nicht uber ein Konzept rationaler Zahlen als algebraische Objekte oder Erweiterung der naturlichen Zahlen verfugten Die aus moderner Sicht oft als Aussagen uber solche interpretierten Ergebnisse wurden geometrisch als Aussagen uber Langen und Flachenverhaltnisse formuliert Eine Lange oder Flache konnte ein ganzzahliges Vielfaches einer anderen sein dementsprechend lassen sich Verhaltnisse zwischen zwei solchen Vielfachen einer Lange oder Flache im heutigen Verstandnis als positive mit negativen Zahlen vergleichbare Konzepte waren nicht vorhanden rationale Zahlen beschreiben im griechischen Verstandnis von Zahlen waren sie jedoch nicht enthalten Erst recht gab es keine irrationalen Zahlen in der griechischen Mathematik es traten lediglich geometrische Verhaltnisse auf die keinem Verhaltnis von zwei ganzzahligen Vielfachen einer Grosse entsprachen man spricht von Inkommensurabilitat 45 46 Selbst die Eins wurde bei Euklid nicht zu den Zahlen gezahlt 47 48 Die Existenz der inkommensurablen Verhaltnisse war spatestens seit Aristoteles 384 322 v Chr der einen recht allgemeinen Beweis lieferte womoglich aber schon vor 400 v Chr 49 in Griechenland bekannt Dies zeigte die Unmoglichkeit des pythagoreischen Ansatzes die in der Geometrie auftretenden Verhaltnisse mittels der Arithmetik zu beschreiben in heutiger Begrifflichkeit eine Unzulanglichkeit der rationalen Zahlen 50 Der Ubergang zu einer geometrischen Grundlegung die den Umgang mit solchen Verhaltnissen erlaubte wird massgeblich auf Eudoxos zuruckgefuhrt der selbst noch Schuler des bedeutenden Pythagoreers Archytas von Tarent gewesen war der die Arithmetik als einzige mogliche Grundlage fur Beweise ansah 51 Eudoxos lieferte eine Definition der Gleichheit zweier geometrischer Verhaltnisse von Langen oder Flachen Zwei Verhaltnisse sind demzufolge gleich wenn alle in moderner Interpretation rationalen Verhaltnisse die kleiner bzw grosser sind als das eine Verhaltnis auch kleiner bzw grosser sind als das andere 52 Diese Definition gilt sogar analog fur den heutigen Begriff der reellen Zahlen Einige Stimmen sahen oder sehen hierin bereits ein Vorhandensein der reellen Zahlen in der griechischen Mathematik 53 54 55 Diese Aussagen sind jedoch problematisch 55 Zum einen war eben nicht einmal das Konzept der rationalen Zahlen vorhanden zum anderen wurde nichts daruber ausgesagt dass bestimmte Verhaltnisse existieren so dass diese etwa ordnungsvollstandig sind sondern vielmehr durch die Geometrie gegebene Verhaltnisse untersucht In jedem Fall ermoglichte diese Definition eine Vielzahl von Beweisen deren Techniken wie die Exhaustionsmethode als Vorlaufer heutiger Begriffe der Analysis gelten wobei gewisse Abschatzungen bereits eine zentrale Rolle spielten Zudem war Richard Dedekind bei seiner Definition der reellen Zahlen eigenen Angaben zufolge durch Eudoxos inspiriert 55 Archimedes ein Gemalde von Domenico Fetti aus dem Jahr 1620 Archimedes von Syrakus 287 212 v Chr der aufbauend auf Eudoxos besonders weitreichende Beweise fur bestimmte geometrische Verhaltnisse sowie bestimmte Naherungen lieferte gilt auch als erste Person die infinitesimale Grossen einfuhrte Im Archimedes Palimpsest wandte er ein Prinzip vergleichbar dem Prinzip von Cavalieri an bei dem eine Flache in unendlich viele infinitesimale Linien zerlegt wird Eine solche Vorgehensweise entsprach schon damals nicht den Anspruchen an einen mathematischen Beweis Archimedes sah in diesem mechanisch motivierten Verfahren jedoch ein nutzliches Werkzeug um an ein Problem heranzugehen und spater einfacher einen korrekten Beweis finden zu konnen 56 Die Existenz von von Null verschiedenen infinitesimalen Grossen widerspricht der Definition des Eudoxos von Gleichheit und auch dem von Archimedes selbst aufgestellten sogenannten Archimedischen Axiom Definition von Zahlen BearbeitenDer Begriff der Zahl ist nicht mathematisch definiert sondern ein gemeinsprachlicher Oberbegriff fur verschiedene mathematische Konzepte Daher gibt es im mathematischen Sinn keine Menge aller Zahlen oder dergleichen Die Mathematik spricht wenn sie sich mit Zahlen befasst stets uber bestimmte wohldefinierte Zahlbereiche d h nur uber bestimmte Objekte unseres Denkens mit festgelegten Eigenschaften die zusammenfassend alle als Zahlen bezeichnet werden Seit dem Ende des 19 Jahrhunderts werden in der Mathematik Zahlen rein mittels der Logik unabhangig von Vorstellungen von Raum und Zeit definiert Grundsteine wurden hier von Richard Dedekind und Giuseppe Peano mit der Axiomatisierung der naturlichen Zahlen Siehe Peano Axiome gelegt Dedekind schreibt zu diesem neuen Ansatz Was beweisbar ist soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden So einleuchtend diese Forderung erscheint so ist sie doch wie ich glaube selbst bei der Begrundung der einfachsten Wissenschaft namlich desjenigen Theiles der Logik welcher die Lehre von den Zahlen behandelt auch nach den neuesten Darstellungen noch keineswegs als erfullt anzusehen die Zahlen sind freie Schopfungen des menschlichen Geistes sie dienen als ein Mittel um die Verschiedenheit der Dinge leichter und scharfer aufzufassen Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen Reich sind wir erst in den Stand gesetzt unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen Reich beziehen Richard Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen Vorwort zur ersten Auflage 57 Zu unterscheiden sind axiomatische Definitionen von mengentheoretischen Definitionen von Zahlen Im ersteren Fall wird die Existenz gewisser Objekte mit auf ihnen definierten Verknupfungen mit bestimmten Eigenschaften in Form von Axiomen postuliert so etwa auch bei den fruhen Axiomatisierungen der naturlichen und der reellen Zahlen durch Peano und Dedekind In der Folge der Entwicklung der Mengenlehre durch Georg Cantor ging man dazu uber zu versuchen sich auf mengentheoretische Axiome zu beschranken wie es in der Mathematik heute etwa mit der Zermelo Fraenkel Mengenlehre ZFC ublich ist Die Existenz gewisser Zahlenmengen und Verknupfungen uber ihnen mit gewissen Eigenschaften wird dann aus diesen Axiomen gefolgert Mitunter wird ein Zahlbereich als eine bestimmte Klasse definiert Die axiomatische Mengenlehre versucht eine einzige einheitliche formale Grundlage fur die gesamte Mathematik zu sein Innerhalb ihrer lasst sich auf reichhaltige Weise mit den Zahlbereichen umgehen Formuliert wird sie in der Regel in der Pradikatenlogik erster Stufe die die Struktur der mathematischen Satze sowie die Moglichkeiten zur Schlussfolgerung aus den Axiomen festlegt Elementares Beispiel einer mengentheoretischen Definition einer Menge von Zahlen ist die von John von Neumann eingefuhrte Definition der naturlichen Zahlen als die kleinste induktive Menge deren Existenz im Rahmen der Zermelo Fraenkel Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom postuliert wird Als mengentheoretische Konzepte werden Ordinal und Kardinalzahlen in aller Regel mengentheoretisch definiert ebenso die Verallgemeinerung der surrealen Zahlen Die Peano Axiome etwa und die auf Dedekind zuruckgehende Definition der reellen Zahlen basieren im Gegensatz zu ZFC auf der Pradikatenlogik zweiter Stufe Wahrend die Pradikatenlogik erster Stufe eine klare allgemein akzeptierte Antwort darauf liefert wie gultige Schlusse vorzunehmen sind wobei diese sich systematisch berechnen lassen fuhren Versuche dies fur die Pradikatenlogik zweiter Stufe zu klaren meist dazu dass eine komplexe Metatheorie eingefuhrt werden muss die ihrerseits mengentheoretische Begriffe metasprachlich einfuhrt und von deren Details die in der Folge erschlossenen Moglichkeiten der Folgerung in der Pradikatenlogik zweiter Stufe abhangen ZFC ist ein Kandidat fur eine solche Theorie 58 Diese Einschrankungen lassen die Pradikatenlogik zweiter Stufe in einem Teil der Philosophie der Mathematik ungeeignet erscheinen auf grundlegender Ebene verwendet zu werden 59 Die Pradikatenlogik erster Stufe dagegen ist nicht hinreichend um gewisse wichtige intuitive Eigenschaften der naturlichen Zahlen zu formulieren und bei Betrachtung dieser in einer mengentheoretischen Metatheorie etwa aufgrund des Satzes von Lowenheim Skolem die Abzahlbarkeit sicherzustellen Verknupfungen von Zahlen BearbeitenDie Mathematik untersucht Beziehungen zwischen mathematischen Objekten und beweist strukturelle Eigenschaften in diesen Beziehungen Elementare Beispiele fur zwischen Zahlen definierte Beziehungen sind etwa die allgemein bekannten Rechenoperationen Grundrechenarten uber den rationalen Zahlen Bruche Vergleiche kleiner grosser grosser gleich etc zwischen rationalen Zahlen und die Teilbarkeitsrelation zwischen ganzen Zahlen 3 ist ein Teiler von 9 Zudem werden Eigenschaften uber bestimmten Zahlen definiert zum Beispiel ist uber den ganzen Zahlen die Eigenschaft definiert eine Primzahl zu sein Solche Verknupfungen sind nicht als vom Zahlbegriff unabhangige willkurliche Operationen zu verstehen vielmehr werden bestimmte Zahlbereiche meist untrennbar von bestimmten Verknupfungen betrachtet da diese die zu untersuchende Struktur massgeblich bestimmen Spricht man etwa uber die naturlichen Zahlen gebraucht man fast immer zumindest auch ihre Ordnung 1 lt 5 displaystyle 1 lt 5 12 lt 19 displaystyle 12 lt 19 welche massgeblich unseren Begriff von naturlichen Zahlen bestimmt In der Schulmathematik der Informatik und der numerischen Mathematik befasst man sich mit Verfahren um solche Verknupfungen auf konkreten Darstellungen von Zahlen auszuwerten Rechnen Als Beispiel sei hier die schriftliche Addition genannt Unter Verwendung der Darstellung von Zahlen in einem Stellenwertsystem ist es hier moglich durch systematisches Abarbeiten der Ziffern eine Darstellung fur die Summe der beiden Zahlen zu erlangen In der Informatik und der numerischen Mathematik werden solche Verfahren entwickelt und auf ihre Leistungsfahigkeit hin untersucht Einige solcher Verfahren sind von fundamentaler Bedeutung fur die heutigen Computer In der abstrakten Algebra befasst man sich mit der Struktur von Verallgemeinerungen solcher Zahlbereiche wobei nur noch das Vorhandensein von Verknupfungen mit gewissen Eigenschaften uber einer beliebigen Menge von Objekten vorausgesetzt wird welche die Struktur der Verknupfungen nicht eindeutig bestimmen sondern viele verschiedene konkrete Strukturen mit diesen Eigenschaften Modelle zulassen siehe algebraische Struktur Ihre Resultate lassen sich auf konkrete Zahlbereiche anwenden die wiederum in der abstrakten Algebra als Motivation und elementare Beispiele dienen konnen Die Zahlentheorie behandelt Eigenschaften im weiteren Sinne von Zahlen etwa Existenz Haufigkeit und Verteilung von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften Eigenschaften transfiniter in bestimmten Sinnen unendlicher Zahlen sind allerdings Gegenstand der Mengenlehre In der Mathematik werden solche Verknupfungen Beziehungen und Eigenschaften als Pradikate oder Relationen einschliesslich Funktionen aufgefasst Zahlbereiche BearbeitenEinige wichtige Zahlbereiche seien hier in ihrem mathematischen Kontext vorgestellt Im Laufe der Geschichte der Mathematik wurden immer weitere Zahlbereiche eingefuhrt um gegenuber bisherigen Zahlbereichen bestimmte Probleme allgemeiner behandeln zu konnen Insbesondere wurden bestehende Zahlbereiche durch Hinzufugen zusatzlicher Elemente zu neuen Zahlbereichen erweitert um uber gewisse Operationen allgemeiner sprechen zu konnen siehe hierzu auch den Artikel zur Zahlbereichserweiterung Zum Begriff des Zahlbereichs siehe den Abschnitt zur Definition Naturliche Zahlen Bearbeiten Hauptartikel Naturliche Zahl Die naturlichen Zahlen 1 2 3 4 5 oder 0 1 2 3 4 5 bilden diejenige Menge von Zahlen die ublicherweise zum Zahlen verwendet wird wobei je nach Definition die Null mit eingeschlossen wird oder nicht Die naturlichen Zahlen sind mit einer Ordnung kleiner versehen Es gibt ein kleinstes Element je nach Definition die Null oder die Eins und jedes Element hat einen Nachfolger und ist kleiner als sein Nachfolger Indem man ausgehend vom kleinsten Element immer wieder den Nachfolger bildet erreicht man schliesslich jede naturliche Zahl und sukzessive immer weitere so dass es ihrer unendlich viele gibt Die naturlichen Zahlen sind zudem mit Addition und Multiplikation versehen je zwei naturlichen Zahlen lassen sich damit eine Summe und ein Produkt zuordnen die wieder naturliche Zahlen sind Diese Operationen sind assoziativ und kommutativ zudem sind sie im Sinne des Distributivgesetzes miteinander vertraglich a b c a b a c displaystyle a cdot b c a cdot b a cdot c Diese drei Eigenschaften sind auch grundlegend fur viele allgemeinere Zahlbereiche wie die ganzen rationalen reellen und komplexen Zahlen Die Ordnung der naturlichen Zahlen ist in gewisser Hinsicht mit der Addition und Multiplikation vertraglich Sie ist verschiebungsinvariant d h fur naturliche Zahlen m n o displaystyle m n o folgt aus m n displaystyle m leq n auch m o n o displaystyle m o leq n o zusatzlich zur Verschiebungsinvarianz folgt auch m o n o displaystyle m cdot o leq n cdot o Die Existenz der Menge aller naturlichen Zahlen wird in der Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom sichergestellt Diese Menge wird mit N displaystyle mathbb N oder N displaystyle mathbf N bezeichnet Ganze Zahlen Bearbeiten Hauptartikel Ganze Zahl In der Menge der naturlichen Zahlen existiert fur zwei Zahlen n lt m displaystyle n lt m keine naturliche Zahl d displaystyle d sodass m d n displaystyle m d n Die ganzen Zahlen erweitern die naturlichen Zahlen so dass fur zwei beliebige Elemente eine solche Zahl d displaystyle d existiert Hierzu fugt man die negativen Zahlen den naturlichen Zahlen hinzu Zu jeder naturlichen Zahl n displaystyle n existiert eine zweite ganze Zahl n displaystyle n so dass n n 0 displaystyle n n 0 welche als additives Inverses bezeichnet wird Die obige Zahl d displaystyle d genannt Differenz ist dann als n m displaystyle n m kurz n m displaystyle n m gegeben Hierdurch ist die Subtraktion auf den ganzen Zahlen definiert die jedoch im Wesentlichen eine Kurzschreibweise darstellt Die Ordnung uber den naturlichen Zahlen wird auf die ganzen Zahlen erweitert Hierbei gibt es kein kleinstes Element mehr dafur hat jedes Element einen Vorganger und einen Nachfolger der Vorganger der 0 displaystyle 0 ist die 1 displaystyle 1 der der 1 displaystyle 1 die 2 displaystyle 2 etc Die Vertraglichkeit mit der Addition die Verschiebungsinvarianz bleibt dabei erhalten Zudem ist das Produkt von zwei ganzen Zahlen grosser Null stets wiederum grosser Null Die ganzen Zahlen bilden einen Ring Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z displaystyle mathbb Z oder Z displaystyle mathbf Z bezeichnet Rationale Zahlen Bearbeiten Hauptartikel Rationale Zahl Ebenso wie die naturlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert werden um ein additives Inverses und die Subtraktion zu erhalten erweitert man die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen um ein multiplikatives Inverses und die Division zu erhalten D h die rationalen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen und zu jeder ganzen Zahl z 0 displaystyle z neq 0 fugt man die 1 z displaystyle tfrac 1 z genannte Zahl Stammbruch als multiplikatives Inverses hinzu so dass z 1 z 1 displaystyle textstyle z cdot frac 1 z 1 Zudem soll das Produkt zweier beliebiger rationaler Zahlen definiert sein allgemein erhalt man rationale Zahlen der Form x y x 1 y displaystyle textstyle frac x y x cdot frac 1 y genannt Bruch wobei eine ganze Zahl z displaystyle z mit dem Bruch z 1 displaystyle textstyle frac z 1 identifiziert wird Fur ganze Zahlen t 0 displaystyle t neq 0 werden die Bruche x y displaystyle textstyle frac x y und t x t y displaystyle textstyle frac t cdot x t cdot y miteinander identifiziert diese Identifizierung wird auch als Erweitern und Kurzen bezeichnet Somit erhalt man eine mit der Multiplikation ganzer Zahlen kompatible Multiplikation und Division Mittels der Dezimalbruchdarstellung lasst sich eine mit der Ordnung der ganzen Zahlen kompatible Ordnung definieren die auch die Vertraglichkeit mit Addition und Multiplikation erhalt Die rationalen Zahlen bilden einen geordneten Korper Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen wird verallgemeinert als Quotientenkorperbildung zu einem Ring Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q displaystyle mathbb Q oder Q displaystyle mathbf Q bezeichnet In der deutschen Schulmathematik kommt daneben die Bezeichnung B Q 0 displaystyle mathbb B mathbb Q 0 vor Menge der positiven Bruchzahlen wenn die positiven Bruche vor den negativen ganzen Zahlen eingefuhrt werden Algebraische Erweiterungen Bearbeiten Hauptartikel Algebraische Zahl und Algebraische Erweiterung Mit der Addition und Multiplikation ganzer oder rationaler Zahlen lassen sich sogenannte Polynomfunktionen definieren Jeder ganzen bzw rationalen Zahl wird dabei eine Summe von Potenzen multipliziert mit konstanten Zahlen Koeffizienten zugeordnet Etwa einer beliebigen Zahl x displaystyle x der Wert 12 x 0 4 x 2 1 2 x 3 displaystyle textstyle 12 cdot x 0 4 cdot x 2 left frac 1 2 right cdot x 3 definiert als 12 4 x x 1 2 x x x displaystyle textstyle 12 4 cdot x cdot x left frac 1 2 right cdot x cdot x cdot x Fur viele solcher Polynomfunktionen existiert keine rationale Zahl so dass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle gleich Null wird Nullstelle Fugt man nun Nullstellen bestimmter Polynomfunktionen den rationalen Zahlen hinzu wobei Multiplikation und Addition wohldefiniert bleiben erhalt man eine algebraische Erweiterung Erweitert man die rationalen Zahlen um solche Nullstellen fur alle nicht konstanten Polynome erhalt man die algebraischen Zahlen Erweitert man die ganzen Zahlen um Nullstellen fur alle nicht konstanten Polynome deren Koeffizienten ganzzahlig sind und deren Koeffizient zur hochsten Potenz 1 displaystyle 1 ist so erhalt man die ganzalgebraischen Zahlen Algebraische Erweiterungen werden in der Korpertheorie insbesondere in der Galois Theorie untersucht Reelle Zahlen Bearbeiten Hauptartikel Reelle Zahlen Betrachtet man Probleme wie etwa das Finden von Nullstellen von Polynomfunktionen uber den rationalen Zahlen stellt man fest dass sich in den rationalen Zahlen beliebig gute Naherungen konstruieren lassen Etwa findet sich bei zahlreichen Polynomfunktionen zu jeder festgelegten Toleranz eine rationale Zahl so dass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle hochstens um die Toleranz von der Null abweicht Zudem kann man die Naherungslosungen so wahlen dass sie nah beieinander liegen denn Polynomfunktionen sind stetig weisen keine Sprunge auf Dieses Verhalten tritt nicht nur bei Nullstellen von Polynomfunktionen auf sondern auch bei zahlreichen weiteren mathematischen Problemen die eine gewisse Stetigkeit aufweisen so dass man dazu ubergeht die Existenz einer Losung zu garantieren sobald beliebig gute Naherungen durch nahe beieinander gelegene rationale Zahlen existieren Eine solche Losung nennt man eine reelle Zahl Um die Existenz solcher Losungen zu zeigen reicht es zu fordern dass es zu jeder Menge rationaler Zahlen die nicht beliebig grosse Zahlen enthalt unter den reellen Zahlen die grosser oder gleich als all diese Elemente der Menge sind eine kleinste gibt Alternativ lassen sich die reellen Zahlen explizit als Folgen von rationalen Zahlen die sich einander annahern definieren Die Menge der reellen Zahlen ist uberabzahlbar Daher ist es nicht moglich jede beliebige reelle Zahl sprachlich eindeutig zu beschreiben Die Abgeschlossenheit der reellen Zahlen unter solchen Naherungsprozessen bezeichnet man als Vollstandigkeit Diese erlaubt es zahlreiche Begriffe aus der Analysis wie den der Ableitung und den des Integrals uber Grenzwerte zu definieren Grenzwerte erlauben zudem die Definition zahlreicher wichtiger Funktionen etwa der trigonometrischen Funktionen Sinus Cosinus Tangens etc was uber den rationalen Zahlen nicht moglich ist Die reellen Zahlen behalten massgebliche Eigenschaften der Addition Multiplikation und der Ordnung in den rationalen Zahlen und bilden somit ebenfalls einen geordneten Korper Sie lassen sich nicht erweitern ohne diese Eigenschaft oder das archimedische Axiom zu verletzen also unendlich kleine strikt positive Zahlen einzufuhren Die Idee des Ubergangs von den rationalen zu den reellen Zahlen wird durch verschiedene Konzepte der Vervollstandigung verallgemeinert Die Menge der reellen Zahlen wird mit R displaystyle mathbb R oder R displaystyle mathbf R bezeichnet Komplexe Zahlen Bearbeiten Hauptartikel Komplexe Zahlen Manche Polynomfunktionen besitzen keine Nullstellen in den reellen Zahlen Beispielsweise nimmt die Funktion x x 2 1 displaystyle x mapsto x 2 1 fur jede reelle Zahl x displaystyle x einen Wert grosser als Null an Es lasst sich zeigen dass durch Hinzufugen einer Zahl i displaystyle i genannt imaginare Einheit die die Gleichung i 2 1 0 displaystyle i 2 1 0 erfullt wobei die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation erhalten bleiben sollen bereits die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert werden in denen alle nicht konstanten Polynomfunktionen eine Nullstelle besitzen Die komplexen Zahlen bilden damit den algebraischen Abschluss der reellen Zahlen Grenzwertprozesse sind in den komplexen Zahlen ebenso moglich wie in den reellen Zahlen jedoch sind die komplexen Zahlen nicht mehr geordnet Sie lassen sich als Ebene zweidimensionaler Vektorraum uber den reellen Zahlen auffassen Jede komplexe Zahl lasst sich eindeutig in der Form a b i displaystyle a b cdot i darstellen wobei a displaystyle a und b displaystyle b reelle Zahlen sind und i displaystyle i die imaginare Einheit bezeichnen Die Funktionentheorie ist das Teilgebiet der Analysis das sich mit den analytischen Eigenschaften von Funktionen uber den komplexen Zahlen befasst Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C displaystyle mathbb C oder C displaystyle mathbf C bezeichnet Ordinalzahlen und Kardinalzahlen Bearbeiten Hauptartikel Ordinalzahl und Kardinalzahl Mathematik Die Ordinal und Kardinalzahlen sind Konzepte aus der Mengenlehre In der Mengenlehre definiert man die Kardinalitat einer Menge als Kardinalzahl die Kardinalitat ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der Anzahl der Elemente einer endlichen Menge auf unendliche Mengen Die Kardinalitaten endlicher Mengen sind somit naturliche Zahlen die auch in den Kardinalzahlen enthalten sind Ordinalzahlen verallgemeinern das Konzept der Position in einer wohlgeordneten Menge auf unendliche Mengen Ordinalzahlen beschreiben dann eindeutig die Position eines Elementes in einer solchen Wohlordnung Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet so dass die Reihenfolge von wohlgeordneten Objekten der Reihenfolge der ihnen zugeordneten Positionen also Ordinalzahlen entspricht Fur Positionen in Anordnungen endlich vieler Objekte lassen sich naturliche Zahlen verwenden die den kleinsten Ordinalzahlen entsprechen Kardinalzahlen werden heutzutage als spezielle Ordinalzahlen definiert wodurch sie ebenfalls eine Ordnung erhalten Neben der Ordnung sind auf Kardinalzahlen und Ordinalzahlen auch Addition Multiplikation und Potenzierung definiert die eingeschrankt auf die naturlichen Zahlen mit den ublichen Begriffen fur naturliche Zahlen ubereinstimmen siehe hierzu Kardinalzahlarithmetik und transfinite Arithmetik Sowohl die Ordinalzahlen als auch die Kardinalzahlen bilden echte Klassen das heisst sie sind im Sinne der modernen Mengenlehre keine Mengen Hyperreelle Zahlen Bearbeiten Hauptartikel Hyperreelle Zahlen Die hyperreellen Zahlen sind eine Verallgemeinerung der reellen Zahlen und Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis Sie erlauben die Definition von Begriffen aus der Analysis etwa die der Stetigkeit oder der Ableitung ohne die Verwendung von Grenzwerten Hyperkomplexe Zahlen Bearbeiten Hauptartikel Hyperkomplexe Zahlen Die komplexen Zahlen lassen sich als zweidimensionaler Vektorraum uber den reellen Zahlen auffassen siehe Gausssche Zahlenebene das heisst als zweidimensionale Ebene bei der neben der ublichen koordinatenweisen Addition eine Multiplikation zwischen zwei Punkten der Ebene definiert ist Es gibt zahlreiche ahnliche Strukturen die man unter dem Begriff hyperkomplexe Zahlen zusammenfasst Diese Strukturen sind in der Regel endlichdimensionale Vektorraume uber den reellen Zahlen vorstellbar als zwei oder hoherdimensionaler Raum mit einer zusatzlichen Multiplikation Oftmals lassen sich die reellen Zahlen selbst in diese Strukturen einbetten wobei die Multiplikation eingeschrankt auf die reellen Zahlen der ublichen Multiplikation von reellen Zahlen entspricht Weitere Gruppen von Zahlen Bearbeiten p adische Zahl eine Verallgemeinerung der rationalen Zahlen unter Miteinbeziehung von unendlich vielen Vorkomma Stellen die in der Zahlentheorie Verwendung findet Surreale Zahl eine Verallgemeinerung der hyperreellen Zahlen und der Ordinalzahlen mit Anwendungen in der Spieltheorie Restklassenringe konnen als Einschrankungen der ganzen Zahlen auf die ersten endlich vielen Elemente mit entsprechend definierter Arithmetik aufgefasst werden Ihre Elemente werden mitunter auch als Zahlen bezeichnet Darstellung von Zahlen Bearbeiten Hauptartikel Zahldarstellung In der Mathematik spricht man mittels der Sprache der Logik uber in dieser definierte mathematische Objekte wie etwa Zahlen mit ihr lassen sich auch konkrete Zahlen mitunter eindeutig beschreiben unter Umstanden mittels Formeln Uber die gangigen logischen Formalismen hinaus existieren jedoch systematische Bezeichnungen fur bestimmte Zahlen etwa in Form von speziellen Kombinationen von Schriftzeichen mitunter eigens dafur verwendete Ziffern oder mittels besonders konstruierter Worter der naturlichen Sprache wie etwa Numerale Bezeichnungen fur bestimmte Zahlen werden ausserhalb der Mathematik verwendet um konkrete Beobachtungen zu beschreiben etwa eine Anzahl beobachteter Objekte Ich sehe funf Bananen oder mittels eines anderen Messverfahrens bestimmte Messwerte Der Turrahmen ist zwei Meter hoch Des Weiteren erlauben solch systematische Zahldarstellungen mitunter einfaches systematisches Rechnen mit konkreten Zahlen gerade auch durch Rechenmaschinen und Computer Die Rechenverfahren zur Berechnung gewisser Operationen zwischen konkreten Zahlen hangen von der gewahlten Darstellung ab In der Kultur und Mathematikgeschichte haben sich zahlreiche Zahlensysteme zu solchen systematischen Zahldarstellungen entwickelt Belege fur die Darstellung von Zahlen reichen bis in die spate Steinzeit zuruck wobei Schwierigkeiten bestehen Zahlzeichen von blossen Zahlzeichen zu unterscheiden das heisst zu erkennen ob den Menschen Zahlen als abstrakte Bedeutung jener bewusst waren oder nur eine werkzeugartige Verwendung vorlag bei denen die physische Konstruktion des Zahlzeichens nicht aber eine Bedeutung relevant war seine Aufgabe zu erfullen Zu dieser Problematik siehe etwa den Artikel zum Ishango Knochen einem Fund aus der spaten Altsteinzeit der verschiedenartige Interpretationen zulasst Beispiele fur solche Darstellungen sind Strichlisten Unarsystem und die Ziffernfolgen verwendenden Stellenwertsysteme wie sie heute fur die Darstellung naturlicher Zahlen ublich sind und auch fur die Zahldarstellung in Computern in Form des Dualsystems verwendet werden Betrachtet man sprachliche Darstellungen von Zahlen formal so lasst sich nicht jeder Zahl eine solche Darstellung in einem formalen Sinne zuordnen d h in einem mathematischen formalen Sinne existieren mehr Zahlen als mogliche Darstellungen in einer Sprache Da sprachliche Formulierungen stets endlich sind kann es von ihnen nur abzahlbar viele verschiedene geben wahrend die Mathematik auch uberabzahlbare Zahlbereiche betrachtet Man spricht dennoch auch von Darstellungen uberabzahlbarer Zahlbereiche wenn man sich bei solchen formalen Darstellungen nicht mehr auf zu sprachlichen Formulierungen korrespondierende beschrankt in ihrer Struktur konnen sie jedoch den Zahlensystemen ahneln etwa lassen sich die reellen Zahlen als spezielle formale Reihen definieren welche der Darstellung in Stellenwertsystemen strukturell ahneln Beispiele Bearbeiten Einige Beispiele fur Darstellungen von Zahlen Vier bezeichnet im Deutschen als Zahlwort eine Zahl Diese Zahl lasst sich als Strichliste darstellen In der indisch arabischen Zahlschrift wird sie als 4 dargestellt In der romischen Zahlschrift wird sie als IV dargestellt Als Formel lasst sie sich z B als 1 1 1 1 displaystyle 1 1 1 1 darstellen was einer mathematischen Definition gleichkommt falls die Eins und die Addition zuvor definiert worden sind Fasst man die naturlichen Zahlen als algebraische Struktur versehen mit Multiplikation und Addition auf so lasst sich die Eins als einzige naturliche Zahl x displaystyle x definieren so dass x x x displaystyle x cdot x x und x x x displaystyle x x neq x das Symbol 1 displaystyle 1 steht dann fur eine beliebige naturliche Zahl die diese Bedingung erfullt und ist damit eindeutig Definiert man naturliche Zahlen mengentheoretisch in der Variante von John von Neumann so lasst sich die Vier uber die ubliche Darstellung endlicher Mengen als displaystyle left emptyset left emptyset right left emptyset left emptyset right right left emptyset left emptyset right left emptyset left emptyset right right right right darstellen Rationale Zahlen lassen sich als Bruche darstellen z B 1 2 displaystyle tfrac 1 2 Losungen quadratischer Gleichungen uber den rationalen Zahlen lassen sich als Formeln bestehend aus Addition Multiplikation und Quadratwurzelbildung rationaler Zahlen darstellen Beispielsweise beschreibt die Formel 2 displaystyle sqrt 2 eine Losung der Gleichung x 2 2 displaystyle x 2 2 fur die Variable x displaystyle x Komplexe Zahlen werden oft als Summe von Realteil und dem Imaginarteil multipliziert mit der imaginaren Einheit dargestellt etwa 4 3 9 2 i displaystyle textstyle frac 4 3 frac 9 2 cdot i Im Dualsystem wird die naturliche Zahl Neun als 1001 displaystyle 1001 dargestellt dies entspricht der Darstellung als Formel 1 2 2 2 0 2 2 0 2 1 displaystyle 1 cdot 2 cdot 2 cdot 2 0 cdot 2 cdot 2 0 cdot 2 1 Jede reelle Zahl lasst sich als Reihe z i 1 a i 2 i displaystyle textstyle z sum i 1 infty a i cdot 2 i mit einer ganzen Zahl z displaystyle z und Koeffizienten a i 0 1 displaystyle a i in left 0 1 right darstellen solche Darstellungen sind jedoch im Allgemeinen nicht endlich beschreibbar da es uberabzahlbar viele mogliche Belegungen der Koeffizienten gibt Falls a i displaystyle a i fur hinreichend grosse i displaystyle i stets Null wird entsprechen die a i displaystyle a i dem Nachkommateil in einer Darstellung im Dualsystem etwa 0 101 displaystyle 0 101 fur 0 625 displaystyle 0 625 Zahlen als Bezeichnung BearbeitenEbenso wie Zahlen sprachliche Ausdrucke Zeichenketten oder dergleichen zugeordnet werden konnen umgekehrt Zahlen bestimmten Objekten zugeordnet werden zum einen fur abstrakte Uberlegungen zum anderen um Darstellungen von Zahlen konkret zur systematischen Bezeichnung von anderen Objekten einzusetzen etwa Information mittels Zahlen zu kodieren Solches Vorgehen erlaubt die Anwendung von den auf Zahlen definierten Operationen auf diese Bezeichnungen Ein verbreitetes Beispiel ist die Nummerierung bei der jedem Objekt einer bestimmten betrachteten Gesamtheit eine meist naturliche Zahl zugeordnet wird Dies erlaubt zum einen die Benennung der Objekte mittels ihrer Nummern und schafft zum anderen mittels der auf den naturlichen Zahlen definierten Ordnung kleiner eine Ordnung der Objekte dies erlaubt etwa im Falle naturlicher Zahlen ein sequentielles Durchgehen aller Objekte Zu beachten ist dass nicht jede Nummer eine Zahl als von der Darstellung unabhangiges mathematisches Objekt ist Manche Nummern sind als spezielle Symbolfolgen zu verstehen die als Identifikatoren dienen selbst wenn sie nur aus Ziffern bestehen z B ISB Versicherungs oder Steuernummern Ein anderes Beispiel ist die Interpretation digitaler Information in der Datenverarbeitung Als binare Folge vorliegende Daten konnen auf naturliche Weise als naturliche Zahl dargestellt im Dualsystem interpretiert werden Randfalle wie fuhrende Nullen mussen dabei beachtet werden Arithmetische Operationen uber dieser Kodierung als Zahl werden u a in der Kryptographie und der Datenkompression eingesetzt Auch in der reinen Mathematik finden sich Anwendungen dieses Prinzips wobei ublicherweise nicht als Zahlen aufgefassten mathematischen Objekten Zahlen zugeordnet werden etwa in Form von Godelnummern die logische Formeln oder Algorithmen identifizieren Weitere Beispiele sind die Reprasentation von Spielsituationen mittels surrealer Zahlen in der Spieltheorie die Darstellung von Drehstreckungen im zweidimensionalen euklidischen Raum durch komplexe Zahlen sowie Drehungen im Dreidimensionalen mittels Quaternionen Siehe auch BearbeitenListe besonderer Zahlen Zifferngruppierung ZahlensymbolikLiteratur BearbeitenAlbrecht Beutelspacher Zahlen Geschichte Gesetze Geheimnisse C H Beck Munchen 2013 ISBN 978 3 406 64871 7 John D Barrow Pi in the sky Oxford University Press London 1992 deutsch von Anita Ehlers Ein Himmel voller Zahlen Auf den Spuren mathematischer Wahrheit Rowohlt Reinbek 1999 ISBN 3 499 19742 1 Jurgen Brater Kuriose Welt der Zahlen Eichborn Verlag Frankfurt Main 2005 ISBN 3 8218 4888 X Tobias Dantzig Number The Language of Science Pi Press New York 2005 ISBN 0 13 185627 8 englisch Originaltitel Number the language of science a critical survey written for the cultured non mathematician Erstausgabe Macmillan Co New York 1930 Heinz Dieter Ebbinghaus et al Zahlen 3 Auflage Springer Berlin 1992 ISBN 3 540 55654 0 Graham Flegg Hrsg Numbers Through the Ages Macmillan Education Basingstoke et al 1989 ISBN 978 0 333 49131 7 Georges Ifrah Universalgeschichte der Zahlen Parkland Koln 1998 ISBN 3 88059 956 4 Heinz Luneburg Von Zahlen und Grossen Dritthalbtausend Jahre Theorie und Praxis Birkhauser Basel 2008 ISBN 978 3 7643 8776 1 Uta Merzbach Carl Benjamin Boyer A History of Mathematics John Wiley amp Sons 2011 ISBN 978 0 470 52548 7 Albert J Urban Hrsg Zahlen Masse Einheiten und Symbole area verlag gmbh Erftstadt 2005 ISBN 3 89996 413 6 Kurt Vogel Vorgriechische Mathematik I Vorgeschichte und Agypten Schroedel Hannover und Schoningh Paderborn 1958 Kurt Vogel Vorgriechische Mathematik II Die Mathematik der Babylonier Schroedel Hannover und Schoningh Paderborn 1959 Hans Ludwig Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 Weblinks Bearbeiten Commons Numbers Album mit Bildern Videos und Audiodateien Wikibooks M A T H E m a T R i x displaystyle color BlueViolet begin smallmatrix mathbf MATHE mu alpha T mathbb R ix end smallmatrix Mathematik fur die Schule Zahlenmengen Wiktionary Zahl Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Geschichte und Soziologie globaler Zahlen Tagungsbericht auf H Soz Kult Meyers Grosses Konversations Lexikon Band 20 Leipzig 1909 S 832 833 Henricus Edition Deutsche Klassik GmbHEinzelnachweise Bearbeiten John Bigelow Sam Butchart Number In Donald M Borchert Hrsg Encyclopedia of Philosophy 2005 ISBN 0 02 866072 2 Schon der Neandertaler war kreativ RP online abgerufen am 5 Marz 2022 Merzbach Boyer S 198 a b Vladimir Orel A Handbook of Germanic Etymology Brill Leiden 2003 S 400 f archive org August Fick Worterbuch der Indogermanischen Sprachen Dritter Teil Wortschatz der Germanischen Spracheinheit PDF 2 7 MB Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1909 a b c Zahl In Jacob Grimm Wilhelm Grimm Hrsg Deutsches Worterbuch Band 31 Z Zmasche XV S Hirzel Leipzig 1956 Sp 36 42 woerterbuchnetz de a b c Julius Pokorny Indogermanisches etymologisches Worterbuch Francke Bern 1959 Band I S 193 archive org Datenbankeintrag Friedrich Kluge Elmar Seebold Etymologisches Worterbuch der deutschen Sprache 24 Auflage de Gruyter Berlin 2002 ISBN 3 11 017472 3 S 1002 Zahl In Duden abgerufen am 11 Juni 2012 Flegg S 7 ff Ebbinghaus et al S 311 Vogel I S 14 Michael C Frank Daniel L Everett Evelina Fedorenko Edward Gibson Number as a cognitive technology Evidence from Piraha language and cognition In Cognition Band 108 Nr 3 Elsevier 2008 S 819 824 doi 10 1016 j cognition 2008 04 007 stanford edu PDF 328 kB abgerufen am 23 Dezember 2012 Daniel L Everett Cultural Constraints on Grammar and Cognition in Piraha Another Look at the Design Features of Human Language In Current Anthropology Band 46 Nr 4 The Wenner Gren Foundation for Anthropological Research 2005 pnglanguages org PDF 961 kB abgerufen am 23 Dezember 2012 Flegg S 7 ff Vogel I S 14 Flegg S 56 ff Flegg S 7 ff Vogel I S 15 Vogel I S 15 Vogel I S 14 Vogel I S 15 Vogel I S 15 Flegg S 7 ff Werner Hilgemann Hermann Kinder dtv Atlas zur Weltgeschichte 37 Auflage Band 1 dtv Munchen 2004 ISBN 978 3 423 03001 4 S 13 ff dtv Atlas zur Weltgeschichte Band 1 S 17 dtv Atlas zur Weltgeschichte Band 1 S 16 f Dieter Vieweger Archaologie der biblischen Welt Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 2003 ISBN 978 3 423 03001 4 S 337 ff Merzbach Boyer S 10 Howard Eves An introduction to the history of mathematics 3 Auflage Saunders College Pub Philadelphia 1990 ISBN 0 03 029558 0 S 39 Eves S 38 Wussing S 121 Wussing S 118 Merzbach Boyer S 14 Eves S 40 41 Merzbach Boyer S 23 27 Wussing S 140 Merzbach Boyer S 28 29 Wussing S 142 Merzbach Boyer S 38 Merzbach Boyer S 44 Merzbach Boyer S 45 Wussing S 174 Merzbach Boyer S 47 Ebbinghaus S 26 27 Matvievskaya S 253 Wussing S 165 David E Joyce Elemente Buch 7 Definition 8 1 Abgerufen am 22 Dezember 2012 Merzbach Boyer S 70 Merzbach Boyer S 65 67 Morris Kline Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Band 1 Oxford University Press New York Oxford 1972 ISBN 0 19 506135 7 S 48 49 Ebbinghaus S 26 27 Brad Rogers A History of Real Numbers and the First Crisis of Western Knowledge PDF 94 kB Nicht mehr online verfugbar Archiviert vom Original am 3 Dezember 2011 abgerufen am 22 Dezember 2012 Wussing S 263 a b c John J O Connor Edmund F Robertson Eudoxus of Cnidus In MacTutor History of Mathematics archive Reviel Netz Methods of Infinity The Archimedes Palimpsest Project abgerufen am 7 November 2012 Richard Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen 2 unv Auflage Verlag Friedrich Vieweg und Sohn Braunschweig 1893 S 7 8 Jouko Vaananen Second Order Logic and Foundations of Mathematics 2001 S 19 math helsinki fi PDF 194 kB abgerufen am 2 Mai 2013 Stewart Shapiro Foundations without Foundationalism A Case for Second order Logic Oxford University Press Oxford 1991 ISBN 0 19 853391 8 S vii 204 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zahl amp oldid 223291467, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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