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Virtuelle Arbeit ist ein Konzept der Analytischen Mechanik bzw. der Technischen Mechanik und bezeichnet

  • sowohl die Arbeit, die eine Kraft an einem System bei einer virtuellen Verschiebung verrichtet,
  • als auch die Arbeit, die eine virtuelle Kraft an einer realen Verschiebung leistet.

Unter einer virtuellen Verschiebung versteht man eine Gestalt- oder Lageänderung des Systems, die mit den Bindungen (z. B. Lager) verträglich und „instantan“, sonst aber willkürlich und außerdem infinitesimal klein ist.

Das Prinzip der virtuellen Arbeit resultiert aus dem Prinzip der virtuellen Leistung und wird ebenso zur Berechnung des Gleichgewichts in der Statik und zum Aufstellen von Bewegungsgleichungen (d’Alembertsches Prinzip) verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Virtuelle Verschiebung, virtuelle Arbeit

Im Folgenden wird ein N-Teilchensystem betrachtet, das durch Zwangsbedingungen eingeschränkt ist.

Eine virtuelle Verschiebung δ x i {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}} ist eine fiktive infinitesimale Verschiebung des i {\displaystyle i} -ten Teilchens, die mit den Zwangsbedingungen verträglich ist. Die Abhängigkeit von der Zeit wird nicht betrachtet.

Die s {\displaystyle s} holonomen Zwangsbedingungen f l ( x 1 , , x N , t ) = 0 , l = 1 , , s {\displaystyle f_{l}\,(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{N},\,t)=0\,\,,\quad l=1,\dots ,s} werden erfüllt durch Verwendung von n = 3 N s {\displaystyle n=3N-s} generalisierter Koordinaten q k {\displaystyle \,q_{k}} :

δ x i = k = 1 n x i q k δ q k {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial q_{k}}}\delta q_{k}}

(Die holonomen Zwangsbedingungen werden also durch Auswahl und entsprechende Reduzierung der generalisierten Koordinaten explizit eliminiert.)

Zur Erfüllung auch der anholonomen Zwangsbedingungen unterliegen die δ q k {\displaystyle \delta q_{k}} weiteren Bedingungen, z. B. r {\displaystyle r} differentiellen nicht-integrablen Gleichungen:

k a k ( l ) δ q k = 0 , l = 1 , , r {\displaystyle \,\sum _{k}a_{k}^{(l)}\delta q_{k}=0\ ,\quad l=1,\ldots ,r}

Die virtuelle Arbeit, welche die Kraft F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} bei virtueller Verschiebung δ x i {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}} am i {\displaystyle i} -ten Teilchen verrichten würde, ist:

δ W i = F i δ x i {\displaystyle \delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}}

System im Gleichgewicht

Ist das N {\displaystyle N} -Teilchensystem im Gleichgewicht, so ist für jedes Teilchen die Beschleunigung gleich Null:

x ¨ i = 0 {\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}_{i}=0}

Daher muss die resultierende Kraft auf jedes Teilchen gleich Null sein:

F i = m i x ¨ i = 0 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}=m_{i}{\ddot {\mathbf {x} }}_{i}=0}

Ist das System im Gleichgewicht, ist die virtuelle Arbeit der Kraft F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} bei Verschiebung δ x i {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}} gleich Null, da die Kraft selbst verschwindet:

δ W i = F i δ x i = 0 {\displaystyle \delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=0}

Somit ist auch die Summe über die von allen Kräften bei virtuellen Verschiebungen geleistete Arbeit gleich Null:

i = 1 N F i δ x i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=0}

Die resultierenden Kräfte F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} kann man zusammensetzen aus eingeprägten Kräften F i e {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{e}} und Zwangskräften F i z {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{z}} :

F i = F i e + F i z {\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{e}+\mathbf {F} _{i}^{z}}

Eingesetzt in obige Beziehung:

i = 1 N F i e δ x i + i = 1 N F i z δ x i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}^{e}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}^{z}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=0}

Prinzip der virtuellen Arbeit

Meist steht die Zwangskraft F i z {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{z}} senkrecht zur virtuellen Verschiebung δ x i {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{i}} , so dass F i z δ x i = 0 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{z}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=0} gilt. Dies ist z. B. der Fall, wenn die Bewegung auf Kurven oder Flächen begrenzt ist.

Es gibt allerdings Systeme, bei denen einzelne Zwangskräfte Arbeit verrichten F i z δ x i 0 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{z}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}\neq 0} .

Das Prinzip der virtuellen Arbeit fordert nun, dass die Summe aller von den Zwangskräften verrichteten virtuellen Arbeiten bei einem System im Gleichgewicht verschwindet:

i = 1 N F i z δ x i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}^{z}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=0}

Für die eingeprägten Kräfte bedeutet das Prinzip der virtuellen Arbeit:

i = 1 N F i e δ x i = 0 {\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}^{e}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=0}

Man beachte, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit nur ein Gleichgewichtsprinzip der Statik ist. Die Erweiterung auf die Dynamik liefert das D’Alembertsche Prinzip.

Prinzip der virtuellen Arbeit in konservativen Systemen

In konservativen Systemen sind alle eingeprägten Kräfte von einem Potential V {\displaystyle V} ableitbar:

F i e = x i V = V x i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{e}=-\nabla _{\mathbf {x} _{i}}V=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {x} _{i}}}}

In diesem Fall lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit

i = 1 N F i e δ x i = i = 1 N V x i δ x i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}^{e}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {x} _{i}}}\cdot \delta \mathbf {x} _{i}=0}

darstellen in der Form

δ V = 0 {\displaystyle \delta V=0} .

Hierbei ist das Symbol δ {\displaystyle \delta } als Variationszeichen im Sinne der Variationsrechnung aufzufassen. δ V = 0 {\displaystyle \delta V=0} bedeutet damit die erste Variation der Potentiellen Energie.

Gelenkig gelagerter Winkelhebel, die virtuelle Verschiebung ist durch den Drehwinkel δΦ charakterisiert.

An einem Winkelhebel, der frei drehbar auf einer Achse gelagert ist, greifen 2 eingeprägte Kräfte F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} und F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} an. Die virtuellen Verschiebungen der Kraftangriffspunkte sind δ x 1 {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{1}} und δ x 2 {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{2}} .

Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist damit

F 1 δ x 1 F 2 δ x 2 = 0 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\delta \mathbf {x} _{1}-\mathbf {F} _{2}\delta \mathbf {x} _{2}=0}

Weil der Winkelhebel als starr angesehen wird, sind die Größen δ x 1 {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{1}} und δ x 2 {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{2}} nicht unabhängig voneinander. Ihre Abhängigkeit kann man durch die Variation δ Φ {\displaystyle \delta \Phi } der generalisierten Koordinate Φ {\displaystyle \Phi } ausdrücken (Kleinwinkelnäherung):

δ x 1 = a 1 δ Φ und {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{1}=a_{1}\delta \Phi \quad {\text{und}}}
δ x 2 = a 2 δ Φ {\displaystyle \delta \mathbf {x} _{2}=a_{2}\delta \Phi }

(Betrachtung in 2 Dimensionen:

  • N = 1 Teil: Winkelhebel
  • s = 1 holonome Zwangsbedingung: δ x 1 a 1 = δ x 2 a 2 = tan δ Φ δ Φ {\displaystyle {\frac {\delta \mathbf {x} _{1}}{a_{1}}}={\frac {\delta \mathbf {x} _{2}}{a_{2}}}=\tan \delta \Phi \approx \delta \Phi }
  • r = 0 nicht-holonome Zwangsbedingungen
  • n = 2N - s = 1 generalisierte Koordinate: Φ {\displaystyle \Phi } )

Damit wird die virtuelle Arbeit:

( F 1 a 1 F 2 a 2 ) δ Φ = 0 {\displaystyle (\mathbf {F} _{1}a_{1}-\mathbf {F} _{2}a_{2})\delta \Phi =0}

Da die Gleichung für beliebige δ Φ {\displaystyle \delta \Phi } gilt, muss der Klammerausdruck identisch 0 sein:

F 1 a 1 = F 2 a 2 {\displaystyle \Rightarrow \mathbf {F} _{1}a_{1}=\mathbf {F} _{2}a_{2}}

Also bleibt das System im Gleichgewicht, d. h., es kippt weder nach rechts noch nach links, wenn die Kräfte multipliziert mit ihrer Achsdistanz gleich groß sind.

Hauptartikel: D’Alembertsches Prinzip

Die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte bzw. -momente ist bei dynamischen Systemen gleich Null. Drückt man die virtuellen Verschiebungen in den generalisierten Koordinaten aus, so können mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit Bewegungsgleichungen für große Mehrkörpersysteme aufgestellt werden.

Neben dem Prinzip der virtuellen Arbeit wird auch das Prinzip der virtuellen Leistung verwendet. Sein wesentlicher Unterschied liegt darin, dass statt virtuellen Verschiebungen hier virtuelle Geschwindigkeitsvariationen benutzt werden.

In der Statik wird dieses Prinzip selten angewendet, jedoch erweist sich seine Erweiterung auf dynamische Systeme, das Prinzip von Jourdain, als vorteilhaft, da dort nichtholonome Bedingungen elegant berücksichtigt werden können.

  1. Aus dem totalen Differential einer Funktion g ( q 1 , , q n , t ) {\displaystyle g(q_{1},\dots ,q_{n},t)} , also einem Ausdruck der Form d g = i = 1 n g q i d q i + g t d t {\displaystyle \mathrm {d} g=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\,\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial g}{\partial t}}\,\mathrm {d} t} , entsteht die gesuchte virtuelle Änderung δ g = i = 1 n g q i δ q i {\displaystyle \delta g=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\,\delta q_{i}} . Der Begriff „instantan“ ist dadurch mathematisiert.
  2. Die verallgemeinerten Koordinaten können von der Zeit abhängen, obwohl das erneut nicht eingeht, da nur der momentane Wert benötigt wird.
  1. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik: Grundlagen und Anwendungen. Springer, ISBN 978-3-642-21710-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Virtuelle Arbeit Konzept fur Modelle der analytischen Mechanik Sprache Beobachten Bearbeiten Weitergeleitet von Virtuelle Verschiebung Virtuelle Arbeit ist ein Konzept der Analytischen Mechanik bzw der Technischen Mechanik und bezeichnet sowohl die Arbeit die eine Kraft an einem System bei einer virtuellen Verschiebung verrichtet 1 als auch die Arbeit die eine virtuelle Kraft an einer realen Verschiebung leistet Unter einer virtuellen Verschiebung versteht man eine Gestalt oder Lageanderung des Systems die mit den Bindungen z B Lager vertraglich und instantan sonst aber willkurlich und ausserdem infinitesimal klein ist Das Prinzip der virtuellen Arbeit resultiert aus dem Prinzip der virtuellen Leistung und wird ebenso zur Berechnung des Gleichgewichts in der Statik und zum Aufstellen von Bewegungsgleichungen d Alembertsches Prinzip verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 1 1 Virtuelle Verschiebung virtuelle Arbeit 1 2 System im Gleichgewicht 1 3 Prinzip der virtuellen Arbeit 1 4 Prinzip der virtuellen Arbeit in konservativen Systemen 2 Beispiel 3 Prinzip der virtuellen Arbeit fur dynamische Systeme 4 Alternativen 5 Anmerkungen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseBeschreibung BearbeitenVirtuelle Verschiebung virtuelle Arbeit Bearbeiten Im Folgenden wird ein N Teilchensystem betrachtet das durch Zwangsbedingungen eingeschrankt ist Eine virtuelle Verschiebung d x i displaystyle delta mathbf x i ist eine fiktive infinitesimale Verschiebung des i displaystyle i ten Teilchens die mit den Zwangsbedingungen vertraglich ist Die Abhangigkeit von der Zeit wird nicht betrachtet Anm 1 Die s displaystyle s holonomen Zwangsbedingungen f l x 1 x N t 0 l 1 s displaystyle f l mathbf x 1 dots mathbf x N t 0 quad l 1 dots s werden erfullt durch Verwendung von n 3 N s displaystyle n 3N s generalisierter Koordinaten q k displaystyle q k d x i k 1 n x i q k d q k displaystyle delta mathbf x i sum k 1 n frac partial mathbf x i partial q k delta q k Die holonomen Zwangsbedingungen werden also durch Auswahl und entsprechende Reduzierung der generalisierten Koordinaten explizit eliminiert Zur Erfullung auch der anholonomen Zwangsbedingungen unterliegen die d q k displaystyle delta q k Anm 2 weiteren Bedingungen z B r displaystyle r differentiellen nicht integrablen Gleichungen k a k l d q k 0 l 1 r displaystyle sum k a k l delta q k 0 quad l 1 ldots r Die virtuelle Arbeit welche die Kraft F i displaystyle mathbf F i bei virtueller Verschiebung d x i displaystyle delta mathbf x i am i displaystyle i ten Teilchen verrichten wurde ist d W i F i d x i displaystyle delta W i mathbf F i cdot delta mathbf x i System im Gleichgewicht Bearbeiten Ist das N displaystyle N Teilchensystem im Gleichgewicht so ist fur jedes Teilchen die Beschleunigung gleich Null x i 0 displaystyle ddot mathbf x i 0 Daher muss die resultierende Kraft auf jedes Teilchen gleich Null sein F i m i x i 0 displaystyle mathbf F i m i ddot mathbf x i 0 Ist das System im Gleichgewicht ist die virtuelle Arbeit der Kraft F i displaystyle mathbf F i bei Verschiebung d x i displaystyle delta mathbf x i gleich Null da die Kraft selbst verschwindet d W i F i d x i 0 displaystyle delta W i mathbf F i cdot delta mathbf x i 0 Somit ist auch die Summe uber die von allen Kraften bei virtuellen Verschiebungen geleistete Arbeit gleich Null i 1 N F i d x i 0 displaystyle sum i 1 N mathbf F i cdot delta mathbf x i 0 Die resultierenden Krafte F i displaystyle mathbf F i kann man zusammensetzen aus eingepragten Kraften F i e displaystyle mathbf F i e und Zwangskraften F i z displaystyle mathbf F i z F i F i e F i z displaystyle mathbf F i mathbf F i e mathbf F i z Eingesetzt in obige Beziehung i 1 N F i e d x i i 1 N F i z d x i 0 displaystyle sum i 1 N mathbf F i e cdot delta mathbf x i sum i 1 N mathbf F i z cdot delta mathbf x i 0 Prinzip der virtuellen Arbeit Bearbeiten Meist steht die Zwangskraft F i z displaystyle mathbf F i z senkrecht zur virtuellen Verschiebung d x i displaystyle delta mathbf x i so dass F i z d x i 0 displaystyle mathbf F i z cdot delta mathbf x i 0 gilt Dies ist z B der Fall wenn die Bewegung auf Kurven oder Flachen begrenzt ist Es gibt allerdings Systeme bei denen einzelne Zwangskrafte Arbeit verrichten F i z d x i 0 displaystyle mathbf F i z cdot delta mathbf x i neq 0 Das Prinzip der virtuellen Arbeit fordert nun dass die Summe aller von den Zwangskraften verrichteten virtuellen Arbeiten bei einem System im Gleichgewicht verschwindet i 1 N F i z d x i 0 displaystyle sum i 1 N mathbf F i z cdot delta mathbf x i 0 Fur die eingepragten Krafte bedeutet das Prinzip der virtuellen Arbeit i 1 N F i e d x i 0 displaystyle Rightarrow sum i 1 N mathbf F i e cdot delta mathbf x i 0 Man beachte dass das Prinzip der virtuellen Arbeit nur ein Gleichgewichtsprinzip der Statik ist Die Erweiterung auf die Dynamik liefert das D Alembertsche Prinzip Prinzip der virtuellen Arbeit in konservativen Systemen Bearbeiten In konservativen Systemen sind alle eingepragten Krafte von einem Potential V displaystyle V ableitbar F i e x i V V x i displaystyle mathbf F i e nabla mathbf x i V frac partial V partial mathbf x i In diesem Fall lasst sich das Prinzip der virtuellen Arbeit i 1 N F i e d x i i 1 N V x i d x i 0 displaystyle sum i 1 N mathbf F i e cdot delta mathbf x i sum i 1 N frac partial V partial mathbf x i cdot delta mathbf x i 0 darstellen in der Form d V 0 displaystyle delta V 0 Hierbei ist das Symbol d displaystyle delta als Variationszeichen im Sinne der Variationsrechnung aufzufassen d V 0 displaystyle delta V 0 bedeutet damit die erste Variation der Potentiellen Energie Beispiel Bearbeiten Gelenkig gelagerter Winkelhebel die virtuelle Verschiebung ist durch den Drehwinkel dF charakterisiert An einem Winkelhebel der frei drehbar auf einer Achse gelagert ist greifen 2 eingepragte Krafte F 1 displaystyle mathbf F 1 und F 2 displaystyle mathbf F 2 an Die virtuellen Verschiebungen der Kraftangriffspunkte sind d x 1 displaystyle delta mathbf x 1 und d x 2 displaystyle delta mathbf x 2 Die virtuelle Arbeit der eingepragten Krafte ist damit F 1 d x 1 F 2 d x 2 0 displaystyle mathbf F 1 delta mathbf x 1 mathbf F 2 delta mathbf x 2 0 Weil der Winkelhebel als starr angesehen wird sind die Grossen d x 1 displaystyle delta mathbf x 1 und d x 2 displaystyle delta mathbf x 2 nicht unabhangig voneinander Ihre Abhangigkeit kann man durch die Variation d F displaystyle delta Phi der generalisierten Koordinate F displaystyle Phi ausdrucken Kleinwinkelnaherung d x 1 a 1 d F und displaystyle delta mathbf x 1 a 1 delta Phi quad text und d x 2 a 2 d F displaystyle delta mathbf x 2 a 2 delta Phi dd Betrachtung in 2 Dimensionen N 1 Teil Winkelhebel s 1 holonome Zwangsbedingung d x 1 a 1 d x 2 a 2 tan d F d F displaystyle frac delta mathbf x 1 a 1 frac delta mathbf x 2 a 2 tan delta Phi approx delta Phi r 0 nicht holonome Zwangsbedingungen n 2N s 1 generalisierte Koordinate F displaystyle Phi Damit wird die virtuelle Arbeit F 1 a 1 F 2 a 2 d F 0 displaystyle mathbf F 1 a 1 mathbf F 2 a 2 delta Phi 0 Da die Gleichung fur beliebige d F displaystyle delta Phi gilt muss der Klammerausdruck identisch 0 sein F 1 a 1 F 2 a 2 displaystyle Rightarrow mathbf F 1 a 1 mathbf F 2 a 2 Also bleibt das System im Gleichgewicht d h es kippt weder nach rechts noch nach links wenn die Krafte multipliziert mit ihrer Achsdistanz gleich gross sind Prinzip der virtuellen Arbeit fur dynamische Systeme Bearbeiten Hauptartikel D Alembertsches Prinzip Die virtuelle Arbeit der Zwangskrafte bzw momente ist bei dynamischen Systemen gleich Null Druckt man die virtuellen Verschiebungen in den generalisierten Koordinaten aus so konnen mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit Bewegungsgleichungen fur grosse Mehrkorpersysteme aufgestellt werden Alternativen BearbeitenNeben dem Prinzip der virtuellen Arbeit wird auch das Prinzip der virtuellen Leistung verwendet Sein wesentlicher Unterschied liegt darin dass statt virtuellen Verschiebungen hier virtuelle Geschwindigkeitsvariationen benutzt werden In der Statik wird dieses Prinzip selten angewendet jedoch erweist sich seine Erweiterung auf dynamische Systeme das Prinzip von Jourdain als vorteilhaft da dort nichtholonome Bedingungen elegant berucksichtigt werden konnen Anmerkungen Bearbeiten Aus dem totalen Differential einer Funktion g q 1 q n t displaystyle g q 1 dots q n t also einem Ausdruck der Form d g i 1 n g q i d q i g t d t displaystyle mathrm d g sum i 1 n frac partial g partial q i mathrm d q i frac partial g partial t mathrm d t entsteht die gesuchte virtuelle Anderung d g i 1 n g q i d q i displaystyle delta g sum i 1 n frac partial g partial q i delta q i Der Begriff instantan ist dadurch mathematisiert Die verallgemeinerten Koordinaten konnen von der Zeit abhangen obwohl das erneut nicht eingeht da nur der momentane Wert benotigt wird Literatur BearbeitenHerbert Goldstein Charles P Poole John L Safko Klassische Mechanik 3 Auflage Wiley VCH 2006 ISBN 978 3 527 40589 3 Danilo Capecchi History of Virtual Work Laws A History of Mechanics Prospective Birkhauser 2012 Mailand ISBN 978 88 470 2055 9 Karl Eugen Kurrer The History of the Theory of Structures Searching for Equilibrium Ernst und Sohn Berlin 2018 S 27 31 S 476 481 S 811 814 S 821 824 und S 929 931 ISBN 978 3 433 03229 9 Einzelnachweise Bearbeiten Rolf Mahnken Lehrbuch der Technischen Mechanik Statik Grundlagen und Anwendungen Springer ISBN 978 3 642 21710 4 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Virtuelle Arbeit amp oldid 214982024, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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