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Der Vier-Quadrate-Satz oder Satz von Lagrange ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Dieser Satz lautet:

Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden.

Beispiele:

4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 0 + 0 + 0
7 = 4 + 1 + 1 + 1
31 = 25 + 4 + 1 + 1 = 9 + 9 + 9 + 4

Diese Aussage wurde 1621 von Bachet in seiner einflussreichen Diophant-Ausgabe vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen, mittels einer 1748 von Euler gefundenen Identität, die das Problem auf Primzahlen reduzierte.

Inhaltsverzeichnis

Es gibt natürliche Zahlen, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen: So ist z. B. 20 = 16 + 4. Für 21 hingegen gibt es eine solche Darstellung nicht.

Da das Quadrat einer ungeraden Zahl immer 1 mod 4 {\displaystyle \equiv 1\mod 4} ist, gesprochen kongruent 1 modulo 4 oder den Rest 1 bei Division durch 4 lässt, gilt allgemein, dass eine natürliche Zahl n {\displaystyle n} dann nicht als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist, wenn die Primfaktorzerlegung von n {\displaystyle n} mindestens eine Primzahl p {\displaystyle p} in ungerader Vielfachheit enthält, für die gilt:

p 3 mod 4 {\displaystyle p\equiv 3\mod 4} .

Beispiele:

14 = 2·7. Die 7 ist bezüglich 4 in der Restklasse 3. Also kann es keine Darstellung von 14 als Summe zweier Quadratzahlen geben.
98 = 2·7·7. Hier gilt zwar ebenfalls, dass 7 bezüglich 4 in der Restklasse 3 ist, aber in der Primfaktorzerlegung doppelt vorhanden, also kann es eine Darstellung von 98 als Summe zweier Quadratzahlen geben, nämlich 49+49.

Umgekehrt hat Fermat den sogenannten Zwei-Quadrate-Satz gefunden, dass jede Primzahl p {\displaystyle p} , für die gilt: p 1 mod 4 {\displaystyle p\equiv 1\mod 4} , als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist. Diese Erkenntnis wurde von dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi verwendet, um den Satz zu beweisen:

Eine beliebige natürliche Zahl n {\displaystyle n} ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn in der Primfaktorzerlegung von n {\displaystyle n} alle p 3 mod 4 {\displaystyle p\equiv 3\mod 4} in gerader Vielfachheit vorkommen.

Der deutsche Mathematiker Edmund Landau wies nach, dass die Anzahl solcher Zahlen, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen, verhältnismäßig klein ist.

Interessant ist nun die Fragestellung, wie viele Summanden im Höchstfall notwendig sind, um jede beliebige natürliche Zahl als Summe von Quadraten darzustellen. Diese Frage beantwortet der oben dargestellte Vier-Quadrate-Satz.

Hat man mit

n 1 = a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 + d 1 2 {\displaystyle n_{1}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2}} und n 2 = a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 + d 2 2 {\displaystyle \qquad n_{2}=a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2}}

die Darstellungen zweier Zahlen n1 und n2 als Summe von 4 Quadraten, dann hat man über die Quaternionen

x i = a i + b i i + c i j + d i k {\displaystyle x_{i}=a_{i}+b_{i}\cdot \mathrm {i} +c_{i}\cdot \mathrm {j} +d_{i}\cdot \mathrm {k} } und die Gleichung | x 1 | 2 | x 2 | 2 = | x 1 x 2 | 2 {\displaystyle \qquad |x_{1}|^{2}\cdot |x_{2}|^{2}=|x_{1}x_{2}|^{2}}

eine Darstellung auch des Produktes als Summe von 4 Quadraten:

n 1 n 2 = ( a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 + d 1 2 ) ( a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 + d 2 2 ) {\displaystyle n_{1}n_{2}=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2})}
= ( a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 ) 2 {\displaystyle {}=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})^{2}}
+ ( a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 d 1 c 2 ) 2 {\displaystyle {}+{}(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})^{2}}
+ ( a 1 c 2 b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 ) 2 {\displaystyle {}+{}(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})^{2}}
+ ( a 1 d 2 + b 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 a 2 ) 2 {\displaystyle {}+{}(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})^{2}}

Diese Identität hatte bereits Leonhard Euler 1748 entdeckt, sie ist als Eulerscher Vier-Quadrate Satz bekannt. Mit diesem Satz reduzierte er den Beweis des Satzes, dass jede Zahl sich als Summe von vier Quadratzahlen schreiben lässt, auf Primzahlen. Sind nämlich Primzahlen als Summen von vier Quadraten darstellbar, so auch Produkte von Primzahlen; so auch alle natürlichen Zahlen, da sie Produkte von Primzahlen sind.

Im Jahre 1798 behandelte Adrien-Marie Legendre die verwandte Frage der Summendarstellung von natürlichen Zahlen durch höchstens drei Quadratzahlen. Er fand und formulierte, dass eine natürliche Zahl immer dann aus drei oder weniger Quadratzahlen zusammengesetzt werden kann, wenn sie nicht von der Form 4 i ( 8 j + 7 ) {\displaystyle 4^{i}(8j+7)} mit ganzzahligen i , j 0 {\displaystyle i,j\geq 0} ist. Man nennt diesen Satz auch den Drei-Quadrate-Satz.

Eine Lücke in Legendres Beweis wurde später von Carl Friedrich Gauß geschlossen, weshalb er auch als Satz von Gauß bekannt ist. Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Edmund Landau fanden Vereinfachungen des Beweises.

Der Drei-Quadrate-Satz zieht nicht zuletzt den bekannten (und schon von Pierre de Fermat vermuteten) Satz nach sich, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen darstellbar ist.

In Erweiterung der dem Vier-Quadrate-Satz zugrundeliegenden Fragestellung behandelt das Waringsche Problem die Frage, ob es zu jedem Exponenten k = 2 , 3 , {\displaystyle k=2,\,3,\dotsc } eine Zahl g k {\displaystyle g_{k}} gibt, so dass jede natürliche Zahl sich als Summe von höchstens g k {\displaystyle g_{k}} k {\displaystyle k} -ten Potenzen schreiben lässt, und die daran anschließende Frage, auf welchem Wege die kleinstmögliche dieser Zahlen g k {\displaystyle g_{k}} zu finden sei. Dass solche g k {\displaystyle g_{k}} stets existieren, hat David Hilbert im Jahre 1909 bewiesen.

Bei der Berechnung der jeweiligen Anzahl von Darstellungen einer natürlichen Zahl n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}} als Summe von vier Quadratzahlen kann man das Vorzeichen der quadrierten ganzen Zahlen und deren Ordnung berücksichtigen.

So ergeben sich beispielsweise für n = 7 {\displaystyle n=7} dargestellt als Summe aus vier Quadraten
7 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 = . . . = ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 {\displaystyle 7=1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=...=(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}
mit den Permutationen der Tupel ( 1 , 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 1 , 1 , 2 ) , ( 2 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1,1,2),(-1,1,1,2),(-1,-1,1,2),(-1,-1,-1,2),(-2,1,1,1),(-2,-1,1,1),(-2,-1,-1,1)} und ( 2 , 1 , 1 , 1 ) {\displaystyle (-2,-1,-1,-1)} insgesamt r 4 ( 7 ) = 64 {\displaystyle r_{4}(7)=64} Darstellungen.

Eine Formel für die Anzahl solcher Darstellungen liefert der Satz von Jacobi.

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage, Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-43579-4, S. 154–167.
  • Otto Forster: Algorithmische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-3-663-09240-7 (Print) 978-3-663-09239-1 (Online), S. 228–237
  • Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Chapter XI: Represantations of Natural Numbers as Sums of Non-Negative kth Powers (= North-Holland Mathematical Library.Band31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0,S.378ff. (MR0930670).
  1. S. 421 in John Stillwell: Mathematics and its history. 3. Auflage. Springer, New York 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8, doi:10.1007/978-1-4419-6053-5.
  2. S. 423 in John Stillwell: Mathematics and its history. 3. Auflage. Springer, New York 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8, doi:10.1007/978-1-4419-6053-5.
  3. Vgl. Brief von Leonhard Euler an Christian Goldbach (4. Mai 1748 / 12. April 1749).
  4. Vgl. Adrien-Marie Legendre: Essai sur la Theorie des Nombres. 2. Auflage. Paris 1808, S. 293–339 (Théorie des Nombres considérés comme décomposables en trois quarrés).
  5. Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers 1988, S. 391–392
  6. David Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). In: Mathematische Annalen, 67, 1909, S. 281–300. Vgl. Erhard Schmidt: Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe.) In: Mathematische Annalen, 74, 1913, Nr. 2, S. 271–274.

Vier Quadrate Satz mathematischer Satz der Zahlentheorie Sprache Beobachten Bearbeiten Der Vier Quadrate Satz oder Satz von Lagrange ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie Dieser Satz lautet Jede naturliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden Beispiele 4 1 1 1 1 4 0 0 0 7 4 1 1 1 31 25 4 1 1 9 9 9 4 Diese Aussage wurde 1621 von Bachet in seiner einflussreichen Diophant Ausgabe vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen 1 mittels einer 1748 von Euler gefundenen Identitat die das Problem auf Primzahlen reduzierte 2 Inhaltsverzeichnis 1 Naturliche Zahlen als Summe von Quadratzahlen 2 Bezug zum eulerschen Vier Quadrate Satz 3 Verwandte Probleme und Resultate 4 Anzahl der Darstellungen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseNaturliche Zahlen als Summe von Quadratzahlen BearbeitenEs gibt naturliche Zahlen die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen So ist z B 20 16 4 Fur 21 hingegen gibt es eine solche Darstellung nicht Da das Quadrat einer ungeraden Zahl immer 1 mod 4 displaystyle equiv 1 mod 4 ist gesprochen kongruent 1 modulo 4 oder den Rest 1 bei Division durch 4 lasst gilt allgemein dass eine naturliche Zahl n displaystyle n dann nicht als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist wenn die Primfaktorzerlegung von n displaystyle n mindestens eine Primzahl p displaystyle p in ungerader Vielfachheit enthalt fur die gilt p 3 mod 4 displaystyle p equiv 3 mod 4 Beispiele 14 2 7 Die 7 ist bezuglich 4 in der Restklasse 3 Also kann es keine Darstellung von 14 als Summe zweier Quadratzahlen geben 98 2 7 7 Hier gilt zwar ebenfalls dass 7 bezuglich 4 in der Restklasse 3 ist aber in der Primfaktorzerlegung doppelt vorhanden also kann es eine Darstellung von 98 als Summe zweier Quadratzahlen geben namlich 49 49 Umgekehrt hat Fermat den sogenannten Zwei Quadrate Satz gefunden dass jede Primzahl p displaystyle p fur die gilt p 1 mod 4 displaystyle p equiv 1 mod 4 als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist Diese Erkenntnis wurde von dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi verwendet um den Satz zu beweisen Eine beliebige naturliche Zahl n displaystyle n ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar wenn in der Primfaktorzerlegung von n displaystyle n alle p 3 mod 4 displaystyle p equiv 3 mod 4 in gerader Vielfachheit vorkommen Der deutsche Mathematiker Edmund Landau wies nach dass die Anzahl solcher Zahlen die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen verhaltnismassig klein ist Interessant ist nun die Fragestellung wie viele Summanden im Hochstfall notwendig sind um jede beliebige naturliche Zahl als Summe von Quadraten darzustellen Diese Frage beantwortet der oben dargestellte Vier Quadrate Satz Bezug zum eulerschen Vier Quadrate Satz BearbeitenHat man mit n 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 displaystyle n 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 und n 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 displaystyle qquad n 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 die Darstellungen zweier Zahlen n1 und n2 als Summe von 4 Quadraten dann hat man uber die Quaternionen x i a i b i i c i j d i k displaystyle x i a i b i cdot mathrm i c i cdot mathrm j d i cdot mathrm k und die Gleichung x 1 2 x 2 2 x 1 x 2 2 displaystyle qquad x 1 2 cdot x 2 2 x 1 x 2 2 eine Darstellung auch des Produktes als Summe von 4 Quadraten n 1 n 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 displaystyle n 1 n 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 2 displaystyle a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 2 a 1 b 2 b 1 a 2 c 1 d 2 d 1 c 2 2 displaystyle a 1 b 2 b 1 a 2 c 1 d 2 d 1 c 2 2 a 1 c 2 b 1 d 2 c 1 a 2 d 1 b 2 2 displaystyle a 1 c 2 b 1 d 2 c 1 a 2 d 1 b 2 2 a 1 d 2 b 1 c 2 c 1 b 2 d 1 a 2 2 displaystyle a 1 d 2 b 1 c 2 c 1 b 2 d 1 a 2 2 Diese Identitat hatte bereits Leonhard Euler 1748 entdeckt sie ist als Eulerscher Vier Quadrate Satz bekannt Mit diesem Satz reduzierte er den Beweis des Satzes dass jede Zahl sich als Summe von vier Quadratzahlen schreiben lasst auf Primzahlen 3 Sind namlich Primzahlen als Summen von vier Quadraten darstellbar so auch Produkte von Primzahlen so auch alle naturlichen Zahlen da sie Produkte von Primzahlen sind Verwandte Probleme und Resultate BearbeitenIm Jahre 1798 behandelte Adrien Marie Legendre die verwandte Frage der Summendarstellung von naturlichen Zahlen durch hochstens drei Quadratzahlen Er fand und formulierte dass eine naturliche Zahl immer dann aus drei oder weniger Quadratzahlen zusammengesetzt werden kann wenn sie nicht von der Form 4 i 8 j 7 displaystyle 4 i 8j 7 mit ganzzahligen i j 0 displaystyle i j geq 0 ist Man nennt diesen Satz auch den Drei Quadrate Satz 4 Eine Lucke in Legendres Beweis wurde spater von Carl Friedrich Gauss geschlossen weshalb er auch als Satz von Gauss bekannt ist Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Edmund Landau fanden Vereinfachungen des Beweises Der Drei Quadrate Satz zieht nicht zuletzt den bekannten und schon von Pierre de Fermat vermuteten Satz nach sich dass jede naturliche Zahl als Summe von hochstens drei Dreieckszahlen darstellbar ist 5 In Erweiterung der dem Vier Quadrate Satz zugrundeliegenden Fragestellung behandelt das Waringsche Problem die Frage ob es zu jedem Exponenten k 2 3 displaystyle k 2 3 dotsc eine Zahl g k displaystyle g k gibt so dass jede naturliche Zahl sich als Summe von hochstens g k displaystyle g k k displaystyle k ten Potenzen schreiben lasst und die daran anschliessende Frage auf welchem Wege die kleinstmogliche dieser Zahlen g k displaystyle g k zu finden sei Dass solche g k displaystyle g k stets existieren hat David Hilbert im Jahre 1909 bewiesen 6 Anzahl der Darstellungen BearbeitenBei der Berechnung der jeweiligen Anzahl von Darstellungen einer naturlichen Zahl n N displaystyle n in mathbb N als Summe von vier Quadratzahlen kann man das Vorzeichen der quadrierten ganzen Zahlen und deren Ordnung berucksichtigen So ergeben sich beispielsweise fur n 7 displaystyle n 7 dargestellt als Summe aus vier Quadraten7 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 displaystyle 7 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 mit den Permutationen der Tupel 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 displaystyle 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 und 2 1 1 1 displaystyle 2 1 1 1 insgesamt r 4 7 64 displaystyle r 4 7 64 Darstellungen Eine Formel fur die Anzahl solcher Darstellungen liefert der Satz von Jacobi Siehe auch BearbeitenWaringsches Problem Lipschitzquaternionen Hurwitzquaternionen Quadratsummen Funktion Zwei Quadrate Satz Drei Quadrate SatzLiteratur BearbeitenPeter Bundschuh Einfuhrung in die Zahlentheorie 5 Auflage Springer Verlag 2002 ISBN 3 540 43579 4 S 154 167 Otto Forster Algorithmische Zahlentheorie Springer Verlag 1996 ISBN 978 3 663 09240 7 Print 978 3 663 09239 1 Online S 228 237 Waclaw Sierpinski Elementary Theory of Numbers Chapter XI Represantations of Natural Numbers as Sums of Non Negative kth Powers North Holland Mathematical Library Band 31 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage North Holland u a Amsterdam u a 1988 ISBN 0 444 86662 0 S 378 ff MR0930670 Einzelnachweise Bearbeiten S 421 in John Stillwell Mathematics and its history 3 Auflage Springer New York 2010 ISBN 978 1 4419 6052 8 doi 10 1007 978 1 4419 6053 5 S 423 in John Stillwell Mathematics and its history 3 Auflage Springer New York 2010 ISBN 978 1 4419 6052 8 doi 10 1007 978 1 4419 6053 5 Vgl Brief von Leonhard Euler an Christian Goldbach 4 Mai 1748 12 April 1749 Vgl Adrien Marie Legendre Essai sur la Theorie des Nombres 2 Auflage Paris 1808 S 293 339 Theorie des Nombres consideres comme decomposables en trois quarres Waclaw Sierpinski Elementary Theory of Numbers 1988 S 391 392 David Hilbert Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n ter Potenzen Waringsches Problem In Mathematische Annalen 67 1909 S 281 300 Vgl Erhard Schmidt Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe In Mathematische Annalen 74 1913 Nr 2 S 271 274 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vier Quadrate Satz amp oldid 215303485, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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