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Die Legendresche Vermutung (benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre) ist eine zahlentheoretische Aussage, die besagt, dass es für jede natürliche Zahl n {\displaystyle n} mindestens eine Primzahl zwischen n 2 {\displaystyle n^{2}} und ( n + 1 ) 2 {\displaystyle (n+1)^{2}} gibt.

Die Vermutung ist eines der Landau-Probleme – benannt nach Edmund Landau, der sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge 1912 zu den vier zur damaligen Zeit nicht attackierbaren Vermutungen über Primzahlen zählte.

Die Vermutung ist unbewiesen. Es konnte allerdings gezeigt werden, dass zwischen n 2 {\displaystyle n^{2}} und ( n + 1 ) 2 {\displaystyle (n+1)^{2}} immer eine Primzahl oder eine Semiprimzahl liegt.

Eine analoge Vermutung für Kubikzahlen bewies Albert Ingham: Für jedes hinreichend große n {\displaystyle n} liegt zwischen n 3 {\displaystyle n^{3}} und ( n + 1 ) 3 {\displaystyle (n+1)^{3}} mindestens eine Primzahl.

Inhaltsverzeichnis

Für n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 {\displaystyle n=1,2,3,4,5} bestätigen die Primzahlen p = 2 , 5 , 11 , 17 , 29 {\displaystyle p=2,5,11,17,29} die Vermutung.

Nach der Brocardschen Vermutung (benannt nach Henri Brocard) gibt es für jedes n > 1 {\displaystyle n>1} mindestens vier Primzahlen zwischen p n 2 {\displaystyle p_{n}^{2}} und p n + 1 2 . {\displaystyle p_{n+1}^{2}.} Dabei ist p n {\displaystyle p_{n}} die n-te Primzahl (also p 1 = 2 , {\displaystyle p_{1}=2,} p 2 = 3 , {\displaystyle p_{2}=3,} …). Beispielsweise liegen zwischen p 2 2 = 9 {\displaystyle p_{2}^{2}=9} und p 3 2 = 25 {\displaystyle p_{3}^{2}=25} die fünf Primzahlen 11 , 13 , 17 , 19 , 23 {\displaystyle 11,13,17,19,23} . Auch diese Vermutung ist unbewiesen.

Der dänische Mathematiker Ludvig Oppermann (1817–1883) vermutete 1882 (Vermutung von Oppermann), dass es für n > 1 {\displaystyle n>1} zwischen ( n 1 ) n = n 2 n {\displaystyle (n-1)\cdot n=n^{2}-n} und n 2 {\displaystyle n^{2}} mindestens eine Primzahl gibt (und ebenso zwischen ( n + 1 ) n = n 2 + n {\displaystyle (n+1)\cdot n=n^{2}+n} und n 2 {\displaystyle n^{2}} ). Eine andere Formulierung mit der Primzahlfunktion π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} lautet π ( x 2 x ) < π ( x 2 ) < π ( x 2 + x ) {\displaystyle \pi (x^{2}-x)<\pi (x^{2})<\pi (x^{2}+x)} . Aus der Vermutung folgt, dass es mindestens vier Primzahlen zwischen ( n + 1 ) 2 {\displaystyle (n+1)^{2}} und ( n 1 ) 2 {\displaystyle (n-1)^{2}} gibt und mindestens zwei zwischen n 2 {\displaystyle n^{2}} und ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {(n+1)}^{2}} (eine zwischen n 2 {\displaystyle n^{2}} und n ( n + 1 ) {\displaystyle n\cdot (n+1)} und eine zwischen n ( n + 1 ) {\displaystyle n\cdot (n+1)} und ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {(n+1)}^{2}} ), sie ist also eine Verschärfung der Legendre-Vermutung. Ebenso folgt, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen p n + 1 p n < p n {\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<{\sqrt {p}}_{n}} ist. Dies ist ebenfalls unbewiesen.

  1. Eric W. Weisstein: Landau’s Problems. In: MathWorld (englisch).
  2. Vgl. Jing Run Chen: On the distribution of almost primes in an interval. In: Scientia Sinica 18 (1975), S. 611–627.
  3. Vgl. Albert E. Ingham: On the difference between consecutive primes. In: The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford Series 8 (1937), Nr. 1, S. 255–266.
  4. Eric W. Weisstein: Brocard’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).
  5. Zum Beispiel Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK (dt. Das BUCH der Beweise), Springer 2018, S. 12

Legendresche Vermutung Sprache Beobachten Bearbeiten Weitergeleitet von Vermutung von Legendre Die Legendresche Vermutung benannt nach dem Mathematiker Adrien Marie Legendre ist eine zahlentheoretische Aussage die besagt dass es fur jede naturliche Zahl n displaystyle n mindestens eine Primzahl zwischen n 2 displaystyle n 2 und n 1 2 displaystyle n 1 2 gibt Die Vermutung ist eines der Landau Probleme benannt nach Edmund Landau der sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge 1912 zu den vier zur damaligen Zeit nicht attackierbaren Vermutungen uber Primzahlen zahlte 1 Die Vermutung ist unbewiesen Es konnte allerdings gezeigt werden dass zwischen n 2 displaystyle n 2 und n 1 2 displaystyle n 1 2 immer eine Primzahl oder eine Semiprimzahl liegt 2 Eine analoge Vermutung fur Kubikzahlen bewies Albert Ingham Fur jedes hinreichend grosse n displaystyle n liegt zwischen n 3 displaystyle n 3 und n 1 3 displaystyle n 1 3 mindestens eine Primzahl 3 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Verwandtes 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenFur n 1 2 3 4 5 displaystyle n 1 2 3 4 5 bestatigen die Primzahlen p 2 5 11 17 29 displaystyle p 2 5 11 17 29 die Vermutung Verwandtes BearbeitenNach der Brocardschen Vermutung benannt nach Henri Brocard gibt es fur jedes n gt 1 displaystyle n gt 1 mindestens vier Primzahlen zwischen p n 2 displaystyle p n 2 und p n 1 2 displaystyle p n 1 2 Dabei ist p n displaystyle p n die n te Primzahl also p 1 2 displaystyle p 1 2 p 2 3 displaystyle p 2 3 Beispielsweise liegen zwischen p 2 2 9 displaystyle p 2 2 9 und p 3 2 25 displaystyle p 3 2 25 die funf Primzahlen 11 13 17 19 23 displaystyle 11 13 17 19 23 Auch diese Vermutung ist unbewiesen 4 Der danische Mathematiker Ludvig Oppermann 1817 1883 vermutete 1882 Vermutung von Oppermann dass es fur n gt 1 displaystyle n gt 1 zwischen n 1 n n 2 n displaystyle n 1 cdot n n 2 n und n 2 displaystyle n 2 mindestens eine Primzahl gibt und ebenso zwischen n 1 n n 2 n displaystyle n 1 cdot n n 2 n und n 2 displaystyle n 2 Eine andere Formulierung mit der Primzahlfunktion p x displaystyle pi x lautet p x 2 x lt p x 2 lt p x 2 x displaystyle pi x 2 x lt pi x 2 lt pi x 2 x Aus der Vermutung folgt dass es mindestens vier Primzahlen zwischen n 1 2 displaystyle n 1 2 und n 1 2 displaystyle n 1 2 gibt und mindestens zwei zwischen n 2 displaystyle n 2 und n 1 2 displaystyle n 1 2 eine zwischen n 2 displaystyle n 2 und n n 1 displaystyle n cdot n 1 und eine zwischen n n 1 displaystyle n cdot n 1 und n 1 2 displaystyle n 1 2 sie ist also eine Verscharfung der Legendre Vermutung Ebenso folgt dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen p n 1 p n lt p n displaystyle p n 1 p n lt sqrt p n ist Dies ist ebenfalls unbewiesen 5 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Legendre s Conjecture In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Landau s Problems In MathWorld englisch Vgl Jing Run Chen On the distribution of almost primes in an interval In Scientia Sinica 18 1975 S 611 627 Vgl Albert E Ingham On the difference between consecutive primes In The Quarterly Journal of Mathematics Oxford Series 8 1937 Nr 1 S 255 266 Eric W Weisstein Brocard s Conjecture In MathWorld englisch Zum Beispiel Martin Aigner Gunter M Ziegler Proofs from THE BOOK dt Das BUCH der Beweise Springer 2018 S 12 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Legendresche Vermutung amp oldid 216104931, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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