fbpx
Wikipedia

Die Funktionalableitung auch Variationsableitung ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ein Funktional ist dabei eine Abbildung, die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation.

Die Funktionalableitung ist in der theoretischen Physik relevant. Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Sei M {\displaystyle M} eine Untermenge eines topologischen Vektorraumes und F : M K {\displaystyle F\colon M\to \mathbb {K} } mit K { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} ein (nicht zwingend lineares) Funktional, dann ist die erste Variation von F {\displaystyle F} definiert durch

δ F [ y ] := lim ε 0 F [ y + ε ϕ ] F [ y ] ε = d d ε F [ y + ε ϕ ] | ε = 0 {\displaystyle \delta F[y]:=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[y+\varepsilon \phi ]-F[y]}{\varepsilon }}={\frac {d}{d\varepsilon }}F[y+\varepsilon \phi ]{\bigg \vert }_{\varepsilon =0}}

für eine beliebige Funktion ϕ {\displaystyle \phi } (in einem nicht näher bestimmten Funktionenraum Ω ( D ) {\displaystyle \Omega (D)} ) mit der einzigen Bedingung, dass F {\displaystyle F} auf y + ε ϕ {\displaystyle y+\varepsilon \phi } eindeutig definiert ist für hinreichend kleine ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . Der Funktionenraum Ω ( D ) {\displaystyle \Omega (D)} muss kein Unterraum von M {\displaystyle M} sein, so lange y + ε ϕ M {\displaystyle y+\varepsilon \phi \in M} für alle ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ist.

Die Funktionalableitung δ F [ y ] δ y ( x ) {\displaystyle {\tfrac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}} von F {\displaystyle F} ist dann definiert durch

D δ F [ y ] δ y ( x ) ϕ ( x ) d x := d d ε F [ y + ε ϕ ] | ε = 0 {\displaystyle \int _{D}{\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}\phi (x)\mathrm {d} x:=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}F[y+\varepsilon \phi ]\right|_{\varepsilon =0}} .

Diese Definition impliziert, dass die rechte Seite in die Form eines linearen Integraloperators mit Integralkern δ F [ Y ] δ y ( x ) {\displaystyle {\tfrac {\delta F[Y]}{\delta y(x)}}} gebracht werden kann. Dies ist im Allgemeinen für beliebige Funktionale und beliebige y {\displaystyle y} nicht möglich. Ein Funktional, für das eine solche Integralform existiert, heißt differenzierbar.

Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, was durch die Notation δ δ y ( x ) {\displaystyle {\tfrac {\delta }{\delta y(x)}}} ausgedrückt werden soll.

Analog zur üblichen Richtungsableitung hat auch die Funktionalableitung folgende Eigenschaften.

  1. Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung:
    δ δ y ( x ) ( α F [ y ] + β G [ y ] ) = α δ F [ y ] δ y ( x ) + β δ G [ y ] δ y ( x ) {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta y(x)}}(\alpha F[y]+\beta G[y])=\alpha {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}+\beta {\frac {\delta G[y]}{\delta y(x)}}}
  2. Für ein Produkt aus Funktionalen H [ y ] = F [ y ] G [ y ] {\displaystyle H[y]=F[y]G[y]} gilt die Produktregel:
    δ δ y ( x ) ( F [ y ] G [ y ] ) = F [ y ] δ G [ y ] δ y ( x ) + δ F [ y ] δ y ( x ) G [ y ] {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta y(x)}}(F[y]G[y])=F[y]{\frac {\delta G[y]}{\delta y(x)}}+{\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}G[y]}
  3. Falls F {\displaystyle F} linear ist, dann ist
    F [ y ] = D y ( x ) δ F [ y ] δ y ( x ) d x {\displaystyle F[y]=\int _{D}y(x){\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}dx} .
    Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz: Weil F {\displaystyle F} hier ein lineares Funktional ist, lässt es sich als Skalarprodukt y , δ F [ y ] δ y {\displaystyle \textstyle \left\langle y,{\frac {\delta F[y]}{\delta y}}\right\rangle } darstellen.
  4. Operiert das Funktional F {\displaystyle F} zwischen Teilmengen von Banachräumen und ist die Funktionalableitung y δ F [ y ] δ y ( x ) {\displaystyle y\mapsto {\tfrac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}} von F {\displaystyle F} eine lineare Abbildung, dann existiert auch die Fréchet-Ableitung von F {\displaystyle F} und stimmt mit D y ( x ) δ F [ y ] δ y ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{D}y(x){\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}dx} überein.
  • Das nicht-lineare Funktional
F [ y ] = R y ( x ) 2 g ( x ) d x {\displaystyle F[y]=\int _{\mathbb {R} }y(x)^{2}g(x)dx}
hat die Funktionalableitung δ F [ y ] δ y ( x ) = 2 y ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\tfrac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=2y(x)g(x)} , wie sich mithilfe der Definition zeigen lässt:
R δ F [ y ] δ y ( x ) h ( x ) d x = lim ε 0 1 ε ( F [ y + ε h ] F [ y ] ) = lim ε 0 1 ε ( R ( y ( x ) + ε h ( x ) ) 2 g ( x ) d x R y ( x ) 2 g ( x ) d x ) = lim ε 0 1 ε R 2 y ( x ) ε h ( x ) g ( x ) + ε 2 h ( x ) 2 g ( x ) d x = R 2 y ( x ) g ( x ) h ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}h(x)dx&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F[y+\varepsilon h]-F[y])\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\left(\int _{\mathbb {R} }(y(x)+\varepsilon h(x))^{2}g(x)dx-\int _{\mathbb {R} }y(x)^{2}g(x)dx\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{\mathbb {R} }2y(x)\varepsilon h(x)g(x)+\varepsilon ^{2}h(x)^{2}g(x)dx\\&=\int _{\mathbb {R} }2y(x)g(x)h(x)dx\end{aligned}}} .
Da dies für alle Testfunktionen h {\displaystyle h} gelten muss, folgt
δ F [ y ] δ y ( x ) = 2 y ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=2y(x)g(x)} .
E x [ ϱ ] := c R ϱ ( r ) 4 / 3 d 3 r {\displaystyle E_{x}[\varrho ]:=c\int _{\mathbb {R} }\varrho (r)^{4/3}d^{3}r}
ein Funktional der Dichte ϱ {\displaystyle \varrho } . Das zugehörige Austauschpotential ist
V x ( r ) := δ E x [ ϱ ] δ ϱ ( r ) = c 4 3 ϱ ( r ) 1 / 3 {\displaystyle V_{x}(r):={\frac {\delta E_{x}[\varrho ]}{\delta \varrho (r)}}=c{\frac {4}{3}}\varrho (r)^{1/3}} .
  • Ein weiteres, mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als Funktional F {\displaystyle F} der Dichte ϱ {\displaystyle \varrho } :
F [ ϱ ] = k 2 R 6 ϱ ( r ) ϱ ( r ) | r r | d r d r . {\displaystyle F[\varrho ]={\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho (\mathbf {r} )\varrho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}
Es gilt
R 3 δ F [ ϱ ] δ ϱ ( r ) h ( r ) d r = lim ε 0 1 ε ( F [ ϱ + ε h ] F [ ϱ ] ) = lim ε 0 1 ε k 2 ( R 6 [ ϱ ( r ) + ϵ h ( r ) ] [ ϱ ( r ) + ϵ h ( r ) ] | r r | d r d r R 6 ρ ( r ) ρ ( r ) | r r | d r d r ) = k 2 R 6 ϱ ( r ) h ( r ) | r r | d r d r + k 2 R 6 ϱ ( r ) h ( r ) | r r | d r d r = 2 k 2 R 6 ϱ ( r ) h ( r ) | r r | d r d r = R 3 ( k R 3 ϱ ( r ) | r r | d r ) h ( r ) d r {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\delta F[\varrho ]}{\delta \varrho (\mathbf {r} )}}h(\mathbf {r} )d{\boldsymbol {r}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F[\varrho +\varepsilon h]-F[\varrho ])\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\frac {k}{2}}\left(\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {[\varrho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon h({\boldsymbol {r}})]\,[\varrho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon h({\boldsymbol {r}}')]}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'-\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\,\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\\&={\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')h({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}})h({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\&={\frac {2k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')h({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}'d{\boldsymbol {r}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\left(k\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}'\right)h({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}\end{aligned}}} .
Da dies für alle Testfunktionen h {\displaystyle h} gelten muss, folgert man das Ergebnis
δ F [ y ] δ ϱ ( r ) = k R 3 ϱ ( r ) | r r | d r {\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta \varrho ({\boldsymbol {r}})}}=k\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'} .
  • In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nützlich, um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen. Das Funktional ist
F [ y ] = e R y ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle F[y]=e^{\int _{\mathbb {R} }y(x)g(x)dx}} .
Mithilfe des Grenzwerts
lim ε 0 e ε a 1 ε = lim ε 0 1 + ε a + ε 2 2 a 2 + . . . 1 ε = a {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon a}-1}{\varepsilon }}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1+\varepsilon a+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}a^{2}+...-1}{\varepsilon }}=a}
zeigt man
δ F [ y ] δ y ( x ) = e R y ( x ) g ( x ) d x g ( x ) = F [ y ] g ( x ) {\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=e^{\int _{\mathbb {R} }y(x)g(x)dx}g(x)=F[y]g(x)} .
  • Lässt man auch Distributionen zu, so kann man eine reelle Funktion f {\displaystyle f} mithilfe der Delta-Distribution als Funktional schreiben:
f ( x ) = F x [ f ] := R f ( y ) δ ( x y ) d y {\displaystyle f(x)=F_{x}[f]:=\int _{\mathbb {R} }f(y)\delta (x-y)dy} .
In diesem Sinne ist
δ f ( x ) δ f ( y ) = δ ( x y ) {\displaystyle {\frac {\delta f(x)}{\delta f(y)}}=\delta (x-y)} .

Die Abbildung

ϕ [ d d ε F [ y + ε ϕ ] ] ε = 0 {\displaystyle \phi \mapsto \left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[y+\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}}

ist ein lineares Funktional. Erfüllt es zusätzliche Voraussetzungen, so kann auf dieses Funktional der Darstellungssatz von Riesz-Markow angewandt werden. Dann gibt es ein Maß μ {\displaystyle \mu } , so dass das Funktional als Integral gegen dieses Maß aufgefasst werden kann, das heißt es gibt eine Darstellung

δ F [ y ] = D y ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \delta F[y]=\int _{D}y(x)\mathrm {d} \mu (x)} .

Kann man zusätzlich den Satz von Radon-Nikodým anwenden, so gibt es eine Dichtefunktion, so dass

δ F [ y ] = D y ( x ) δ F [ y ] δ y ( x ) d x {\displaystyle \delta F[y]=\int _{D}y(x){\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}\mathrm {d} x}

gilt. Diese Dichtefunktion ist dann die Funktionalableitung.

  1. Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, 2011, ISBN 978-3-642-14089-1,S.405–406.
  2. R. G. Parr, W. Yang Appendix A, Functionals. In: Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. Oxford University Press, New York 1989, ISBN 978-0195042795, S. 246–254.
  3. Klaus Capelle, A bird's-eye view of density-functional theory, Version 5, November 2006, Gleichung (83)
  4. Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, 2011, ISBN 978-3-642-14089-1,S.407–408.

Funktionalableitung verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals Sprache Beobachten Bearbeiten Weitergeleitet von Variationsableitung Die Funktionalableitung auch Variationsableitung 1 ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals Ein Funktional ist dabei eine Abbildung die einer Funktion eine Zahl zuordnet Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist wird in Richtung einer Funktion abgeleitet Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation Die Funktionalableitung ist in der theoretischen Physik relevant Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Mogliche Voraussetzungen fur die Existenz der Funktionalableitung 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei M displaystyle M eine Untermenge eines topologischen Vektorraumes und F M K displaystyle F colon M to mathbb K mit K R C displaystyle mathbb K in mathbb R mathbb C ein nicht zwingend lineares Funktional dann ist die erste Variation von F displaystyle F definiert durch d F y lim e 0 F y e ϕ F y e d d e F y e ϕ e 0 displaystyle delta F y lim varepsilon to 0 frac F y varepsilon phi F y varepsilon frac d d varepsilon F y varepsilon phi bigg vert varepsilon 0 fur eine beliebige Funktion ϕ displaystyle phi in einem nicht naher bestimmten Funktionenraum W D displaystyle Omega D mit der einzigen Bedingung dass F displaystyle F auf y e ϕ displaystyle y varepsilon phi eindeutig definiert ist fur hinreichend kleine e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 Der Funktionenraum W D displaystyle Omega D muss kein Unterraum von M displaystyle M sein so lange y e ϕ M displaystyle y varepsilon phi in M fur alle e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 ist Die Funktionalableitung d F y d y x displaystyle tfrac delta F y delta y x von F displaystyle F ist dann definiert durch D d F y d y x ϕ x d x d d e F y e ϕ e 0 displaystyle int D frac delta F y delta y x phi x mathrm d x left frac d d varepsilon F y varepsilon phi right varepsilon 0 Diese Definition impliziert dass die rechte Seite in die Form eines linearen Integraloperators mit Integralkern d F Y d y x displaystyle tfrac delta F Y delta y x gebracht werden kann Dies ist im Allgemeinen fur beliebige Funktionale und beliebige y displaystyle y nicht moglich Ein Funktional fur das eine solche Integralform existiert heisst differenzierbar 1 2 Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten was durch die Notation d d y x displaystyle tfrac delta delta y x ausgedruckt werden soll Eigenschaften BearbeitenAnalog zur ublichen Richtungsableitung hat auch die Funktionalableitung folgende Eigenschaften Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung 2 d d y x a F y b G y a d F y d y x b d G y d y x displaystyle frac delta delta y x alpha F y beta G y alpha frac delta F y delta y x beta frac delta G y delta y x Fur ein Produkt aus Funktionalen H y F y G y displaystyle H y F y G y gilt die Produktregel 2 d d y x F y G y F y d G y d y x d F y d y x G y displaystyle frac delta delta y x F y G y F y frac delta G y delta y x frac delta F y delta y x G y Falls F displaystyle F linear ist dann ist F y D y x d F y d y x d x displaystyle F y int D y x frac delta F y delta y x dx Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Frechet Riesz Weil F displaystyle F hier ein lineares Funktional ist lasst es sich als Skalarprodukt y d F y d y displaystyle textstyle left langle y frac delta F y delta y right rangle darstellen Operiert das Funktional F displaystyle F zwischen Teilmengen von Banachraumen und ist die Funktionalableitung y d F y d y x displaystyle y mapsto tfrac delta F y delta y x von F displaystyle F eine lineare Abbildung dann existiert auch die Frechet Ableitung von F displaystyle F und stimmt mit D y x d F y d y x d x displaystyle textstyle int D y x frac delta F y delta y x dx uberein 1 Beispiele BearbeitenDas nicht lineare FunktionalF y R y x 2 g x d x displaystyle F y int mathbb R y x 2 g x dx dd hat die Funktionalableitung d F y d y x 2 y x g x displaystyle tfrac delta F y delta y x 2y x g x wie sich mithilfe der Definition zeigen lasst R d F y d y x h x d x lim e 0 1 e F y e h F y lim e 0 1 e R y x e h x 2 g x d x R y x 2 g x d x lim e 0 1 e R 2 y x e h x g x e 2 h x 2 g x d x R 2 y x g x h x d x displaystyle begin aligned int mathbb R frac delta F y delta y x h x dx amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon F y varepsilon h F y amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon left int mathbb R y x varepsilon h x 2 g x dx int mathbb R y x 2 g x dx right amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon int mathbb R 2y x varepsilon h x g x varepsilon 2 h x 2 g x dx amp int mathbb R 2y x g x h x dx end aligned dd Da dies fur alle Testfunktionen h displaystyle h gelten muss folgtd F y d y x 2 y x g x displaystyle frac delta F y delta y x 2y x g x dd Ein anderes Beispiel stammt aus der Dichtefunktionaltheorie In der LDA Naherung ist dort die AustauschenergieE x ϱ c R ϱ r 4 3 d 3 r displaystyle E x varrho c int mathbb R varrho r 4 3 d 3 r dd ein Funktional der Dichte ϱ displaystyle varrho 3 Das zugehorige Austauschpotential istV x r d E x ϱ d ϱ r c 4 3 ϱ r 1 3 displaystyle V x r frac delta E x varrho delta varrho r c frac 4 3 varrho r 1 3 dd Ein weiteres mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron Elektron Wechselwirkung als Funktional F displaystyle F der Dichte ϱ displaystyle varrho F ϱ k 2 R 6 ϱ r ϱ r r r d r d r displaystyle F varrho frac k 2 iint mathbb R 6 frac varrho mathbf r varrho mathbf r vert mathbf r mathbf r vert d mathbf r d mathbf r dd Es gilt R 3 d F ϱ d ϱ r h r d r lim e 0 1 e F ϱ e h F ϱ lim e 0 1 e k 2 R 6 ϱ r ϵ h r ϱ r ϵ h r r r d r d r R 6 r r r r r r d r d r k 2 R 6 ϱ r h r r r d r d r k 2 R 6 ϱ r h r r r d r d r 2 k 2 R 6 ϱ r h r r r d r d r R 3 k R 3 ϱ r r r d r h r d r displaystyle begin aligned int mathbb R 3 frac delta F varrho delta varrho mathbf r h mathbf r d boldsymbol r amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon F varrho varepsilon h F varrho amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon frac k 2 left iint mathbb R 6 frac varrho boldsymbol r epsilon h boldsymbol r varrho boldsymbol r epsilon h boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r iint mathbb R 6 frac rho boldsymbol r rho boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r right amp frac k 2 iint mathbb R 6 frac varrho boldsymbol r h boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r frac k 2 iint mathbb R 6 frac varrho boldsymbol r h boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r amp frac 2k 2 iint mathbb R 6 frac varrho boldsymbol r h boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r amp int mathbb R 3 left k int mathbb R 3 frac varrho boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r right h boldsymbol r d boldsymbol r end aligned dd Da dies fur alle Testfunktionen h displaystyle h gelten muss folgert man das 2 Ergebnisd F y d ϱ r k R 3 ϱ r r r d r displaystyle frac delta F y delta varrho boldsymbol r k int mathbb R 3 frac varrho boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r dd In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nutzlich um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen Das Funktional istF y e R y x g x d x displaystyle F y e int mathbb R y x g x dx dd Mithilfe des Grenzwertslim e 0 e e a 1 e lim e 0 1 e a e 2 2 a 2 1 e a displaystyle lim varepsilon to 0 frac e varepsilon a 1 varepsilon lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon a frac varepsilon 2 2 a 2 1 varepsilon a dd zeigt mand F y d y x e R y x g x d x g x F y g x displaystyle frac delta F y delta y x e int mathbb R y x g x dx g x F y g x dd Lasst man auch Distributionen zu so kann man eine reelle Funktion f displaystyle f mithilfe der Delta Distribution als Funktional schreiben f x F x f R f y d x y d y displaystyle f x F x f int mathbb R f y delta x y dy dd In diesem Sinne ist 4 d f x d f y d x y displaystyle frac delta f x delta f y delta x y dd Mogliche Voraussetzungen fur die Existenz der Funktionalableitung BearbeitenDie Abbildung ϕ d d e F y e ϕ e 0 displaystyle phi mapsto left frac d d varepsilon F y varepsilon phi right varepsilon 0 ist ein lineares Funktional Erfullt es zusatzliche Voraussetzungen so kann auf dieses Funktional der Darstellungssatz von Riesz Markow angewandt werden Dann gibt es ein Mass m displaystyle mu so dass das Funktional als Integral gegen dieses Mass aufgefasst werden kann das heisst es gibt eine Darstellung d F y D y x d m x displaystyle delta F y int D y x mathrm d mu x Kann man zusatzlich den Satz von Radon Nikodym anwenden so gibt es eine Dichtefunktion so dass d F y D y x d F y d y x d x displaystyle delta F y int D y x frac delta F y delta y x mathrm d x gilt Diese Dichtefunktion ist dann die Funktionalableitung Siehe auch BearbeitenVariation Hamiltonsches Prinzip Euler Lagrange GleichungEinzelnachweise Bearbeiten a b c Eberhard Engel Reiner M Dreizler Density Functional Theory An Advanced Course Theoretical and Mathematical Physics Springer 2011 ISBN 978 3 642 14089 1 S 405 406 a b c d R G Parr W Yang Appendix A Functionals In Density Functional Theory of Atoms and Molecules Oxford University Press New York 1989 ISBN 978 0195042795 S 246 254 Klaus Capelle A bird s eye view of density functional theory Version 5 November 2006 Gleichung 83 Eberhard Engel Reiner M Dreizler Density Functional Theory An Advanced Course Theoretical and Mathematical Physics Springer 2011 ISBN 978 3 642 14089 1 S 407 408 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Funktionalableitung amp oldid 218783270, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

buch

, bücher, bibliothek,

artikel

, lesen, herunterladen, kostenlos, kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele