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In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff, der im Zusammenhang mit Funktionen verwendet wird. Für eine Funktion f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} ist das Urbild einer Menge M B {\displaystyle M\subseteq B} jene Teilmenge der Definitionsmenge A {\displaystyle A} , deren Elemente auf die vorher festgelegte Untermenge M {\displaystyle M} der Zielmenge B {\displaystyle B} abgebildet werden. Das Urbild ist also die Antwort auf die Frage: Welche Elemente aus der Definitionsmenge werden auf Elemente der Menge M {\displaystyle M} abgebildet?. Man sagt dann auch Urbild von M {\displaystyle M} unter f . {\displaystyle f.}

Das Urbild des Elementes 0 {\displaystyle 0} oder der einelementigen Teilmenge { 0 } B {\displaystyle \{0\}\subseteq B} ist die dreielementige Menge { 2 , 3 , 5 } A {\displaystyle \{2,3,5\}\subseteq A}

Das Urbild eines einzelnen Elements b {\displaystyle b} der Zielmenge ist die aus allen a A {\displaystyle a\in A} mit f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} bestehende Teilmenge der Definitionsmenge. Das Urbild der Bildmenge im f := f ( A ) B {\displaystyle \operatorname {im} f:=f(A)\subseteq B} (und natürlich erst recht der ganzen Zielmenge B {\displaystyle B} ) ist genau die Definitionsmenge A {\displaystyle A} , da Funktionen linkstotal sind, also jedem Element der Definitionsmenge mindestens ein Element der Zielmenge (und genau ein Element der Bildmenge) zuordnen.

Inhaltsverzeichnis

Sei f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} eine Funktion und M {\displaystyle M} eine Teilmenge von B {\displaystyle B} . Dann bezeichnet man die Menge

f 1 ( M ) := { x A f ( x ) M } {\displaystyle f^{-1}(M):=\left\{x\in A\mid f(x)\in M\right\}}

als das Urbild von M unter f.

Ein Urbild ist damit ein Wert der sogenannten Urbildfunktion, die jedem Element M {\displaystyle M} der Potenzmenge P ( B ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(B)} der Zielmenge B {\displaystyle B} das Urbild f 1 ( M ) {\displaystyle f^{-1}(M)} als Element der Potenzmenge P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} der Definitionsmenge A {\displaystyle A} zuordnet.

Das Urbild einer einelementigen Menge M = { b } {\displaystyle M=\{b\}} schreibt man auch als

f 1 ( b ) := f 1 ( { b } ) = { x A f ( x ) = b } {\displaystyle f^{-1}(b):=f^{-1}(\{b\})=\{x\in A\mid f(x)=b\}}

und nennt es das Urbild von b unter f. Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein (sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten).

Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung über diesem Element genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln.

Für die Funktion f : Z Z {\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} } (ganze Zahlen) mit f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} gilt:

f 1 ( 4 ) = { 2 , 2 } {\displaystyle f^{-1}(4)=\{2,-2\}}
f 1 ( 0 ) = { 0 } {\displaystyle f^{-1}(0)=\{0\}}
f 1 ( 3 ) = {\displaystyle f^{-1}(3)=\emptyset }
f 1 ( 1 ) = {\displaystyle f^{-1}(-1)=\emptyset }
f 1 ( { 1 , 4 } ) = { 2 , 1 , 1 , 2 } {\displaystyle f^{-1}(\{1,4\})=\{-2,-1,1,2\}}

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

  • Unter einer bijektiven Funktion f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} ist das Urbild jedes Elements (genau) einelementig. Die Abbildung, die jedem Element von B {\displaystyle B} das (einzige, also eindeutig bestimmte) Element seines Urbildes zuordnet, heißt Umkehrfunktion von f {\displaystyle f} . Man bezeichnet sie (auch – wie die Urbildfunktion) mit f 1 {\displaystyle f^{-1}} . Das kann leicht zu Missverständnissen führen, wenn man nicht ausführlicher f 1 : B A {\displaystyle f^{-1}\colon B\to A} für die Umkehrfunktion schreibt (wodurch sie dann deutlich von der Urbildfunktion f 1 : P ( B ) P ( A ) {\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)} unterschieden wird).
  • Unter einer injektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements höchstens einelementig (also einelementig oder leer).
  • Unter einer surjektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements mindestens einelementig (also nichtleer).

Mengenoperationen und -eigenschaften

Es sei f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} eine Funktion, und M {\displaystyle M} und N {\displaystyle N} seien Teilmengen von B {\displaystyle B} . Dann gilt:

  • f 1 ( ) = {\displaystyle f^{-1}(\emptyset )=\emptyset }
  • f 1 ( B ) = A {\displaystyle f^{-1}(B)=A}
  • f 1 ( M N ) = f 1 ( M ) f 1 ( N ) {\displaystyle f^{-1}(M\cup N)=f^{-1}(M)\cup f^{-1}(N)}
  • f 1 ( M N ) = f 1 ( M ) f 1 ( N ) {\displaystyle f^{-1}(M\cap N)=f^{-1}(M)\cap f^{-1}(N)}
    Insbesondere haben also disjunkte Mengen disjunkte Urbilder.
    Die letzten beiden Aussagen (über Vereinigung und Durchschnitt) lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.
  • f 1 ( M c ) = ( f 1 ( M ) ) c {\displaystyle f^{-1}(M^{\rm {c}})=(f^{-1}(M))^{\rm {c}}}
    Dabei bezeichnet X c {\displaystyle X^{\rm {c}}} das Komplement G X := { g G g X } {\displaystyle G\setminus X:=\left\{g\in G\mid g\not \in X\right\}} von X {\displaystyle X} in der jeweiligen Grundmenge G {\displaystyle G} .
  • f 1 ( M N ) = f 1 ( M ) f 1 ( N ) {\displaystyle f^{-1}(M\setminus N)=f^{-1}(M)\setminus f^{-1}(N)}
  • M N f 1 ( M ) f 1 ( N ) {\displaystyle M\subseteq N\Rightarrow f^{-1}(M)\subseteq f^{-1}(N)}

Bild und Urbild

Es sei f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} eine Funktion, M {\displaystyle M} eine Teilmenge von A {\displaystyle A} und N {\displaystyle N} eine Teilmenge von B {\displaystyle B} . Dann gilt:

  • f ( M ) N M f 1 ( N ) , {\displaystyle f(M)\subseteq N\iff M\subseteq f^{-1}(N),}
    d. h., es liegt eine Galoisverbindung vor.
  • M f 1 ( f ( M ) ) {\displaystyle M\subseteq f^{-1}(f(M))}
    Ist f {\displaystyle f} injektiv, dann gilt die Gleichheit.
  • f ( f 1 ( N ) ) N {\displaystyle f(f^{-1}(N))\subseteq N}
    Ist f {\displaystyle f} surjektiv, dann gilt die Gleichheit. Hinreichend ist schon N f ( A ) {\displaystyle N\subseteq f(A)} , dass also N {\displaystyle N} eine Teilmenge des Bildes im f := f ( A ) = { f ( a ) a A } {\displaystyle \operatorname {im} f:=f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}} von f {\displaystyle f} ist.

Urbild und Komposition

Für beliebige Mengen A , B , C {\displaystyle A,B,C} und beliebige Funktionen f : A B , g : B C {\displaystyle f\colon A\to B,g\colon B\to C} bezeichne g f : A C {\displaystyle g\circ f\colon A\to C} die Komposition von g {\displaystyle g} mit f {\displaystyle f} .

Dann gilt für jede Teilmenge C C {\displaystyle C'\subseteq C} :

( g f ) 1 ( C ) = ( f 1 g 1 ) ( C ) = f 1 ( g 1 ( C ) ) {\displaystyle ({g\circ f})^{-1}(C')=(f^{-1}\circ g^{-1})(C')=f^{-1}(g^{-1}(C'))}
Wiktionary: Urbild – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Urbild Mathematik ein Begriff im Zusammenhang mit Abbildungen und Funktionen Sprache Beobachten Bearbeiten In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff der im Zusammenhang mit Funktionen verwendet wird Fur eine Funktion f A B displaystyle f colon A to B ist das Urbild einer Menge M B displaystyle M subseteq B jene Teilmenge der Definitionsmenge A displaystyle A deren Elemente auf die vorher festgelegte Untermenge M displaystyle M der Zielmenge B displaystyle B abgebildet werden Das Urbild ist also die Antwort auf die Frage Welche Elemente aus der Definitionsmenge werden auf Elemente der Menge M displaystyle M abgebildet Man sagt dann auch Urbild von M displaystyle M unter f displaystyle f Das Urbild des Elementes 0 displaystyle 0 oder der einelementigen Teilmenge 0 B displaystyle 0 subseteq B ist die dreielementige Menge 2 3 5 A displaystyle 2 3 5 subseteq A Das Urbild eines einzelnen Elements b displaystyle b der Zielmenge ist die aus allen a A displaystyle a in A mit f a b displaystyle f a b bestehende Teilmenge der Definitionsmenge Das Urbild der Bildmenge im f f A B displaystyle operatorname im f f A subseteq B und naturlich erst recht der ganzen Zielmenge B displaystyle B ist genau die Definitionsmenge A displaystyle A da Funktionen linkstotal sind also jedem Element der Definitionsmenge mindestens ein Element der Zielmenge und genau ein Element der Bildmenge zuordnen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Injektivitat Surjektivitat Bijektivitat 3 2 Mengenoperationen und eigenschaften 3 3 Bild und Urbild 3 4 Urbild und Komposition 4 Siehe auch 5 WeblinksDefinition BearbeitenSei f A B displaystyle f colon A to B eine Funktion und M displaystyle M eine Teilmenge von B displaystyle B Dann bezeichnet man die Menge f 1 M x A f x M displaystyle f 1 M left x in A mid f x in M right als das Urbild von M unter f Ein Urbild ist damit ein Wert der sogenannten Urbildfunktion die jedem Element M displaystyle M der Potenzmenge P B displaystyle mathcal P B der Zielmenge B displaystyle B das Urbild f 1 M displaystyle f 1 M als Element der Potenzmenge P A displaystyle mathcal P A der Definitionsmenge A displaystyle A zuordnet Das Urbild einer einelementigen Menge M b displaystyle M b schreibt man auch als f 1 b f 1 b x A f x b displaystyle f 1 b f 1 b x in A mid f x b und nennt es das Urbild von b unter f Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung uber diesem Element genannt insbesondere im Zusammenhang mit Faserbundeln Beispiele BearbeitenFur die Funktion f Z Z displaystyle f colon mathbb Z to mathbb Z ganze Zahlen mit f x x 2 displaystyle f x x 2 gilt f 1 4 2 2 displaystyle f 1 4 2 2 f 1 0 0 displaystyle f 1 0 0 f 1 3 displaystyle f 1 3 emptyset f 1 1 displaystyle f 1 1 emptyset f 1 1 4 2 1 1 2 displaystyle f 1 1 4 2 1 1 2 Eigenschaften BearbeitenInjektivitat Surjektivitat Bijektivitat Bearbeiten Unter einer bijektiven Funktion f A B displaystyle f colon A to B ist das Urbild jedes Elements genau einelementig Die Abbildung die jedem Element von B displaystyle B das einzige also eindeutig bestimmte Element seines Urbildes zuordnet heisst Umkehrfunktion von f displaystyle f Man bezeichnet sie auch wie die Urbildfunktion mit f 1 displaystyle f 1 Das kann leicht zu Missverstandnissen fuhren wenn man nicht ausfuhrlicher f 1 B A displaystyle f 1 colon B to A fur die Umkehrfunktion schreibt wodurch sie dann deutlich von der Urbildfunktion f 1 P B P A displaystyle f 1 colon mathcal P B to mathcal P A unterschieden wird Unter einer injektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements hochstens einelementig also einelementig oder leer Unter einer surjektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements mindestens einelementig also nichtleer Mengenoperationen und eigenschaften Bearbeiten Es sei f A B displaystyle f colon A to B eine Funktion und M displaystyle M und N displaystyle N seien Teilmengen von B displaystyle B Dann gilt f 1 displaystyle f 1 emptyset emptyset f 1 B A displaystyle f 1 B A f 1 M N f 1 M f 1 N displaystyle f 1 M cup N f 1 M cup f 1 N f 1 M N f 1 M f 1 N displaystyle f 1 M cap N f 1 M cap f 1 N Insbesondere haben also disjunkte Mengen disjunkte Urbilder Die letzten beiden Aussagen uber Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern f 1 M c f 1 M c displaystyle f 1 M rm c f 1 M rm c Dabei bezeichnet X c displaystyle X rm c das Komplement G X g G g X displaystyle G setminus X left g in G mid g not in X right von X displaystyle X in der jeweiligen Grundmenge G displaystyle G f 1 M N f 1 M f 1 N displaystyle f 1 M setminus N f 1 M setminus f 1 N M N f 1 M f 1 N displaystyle M subseteq N Rightarrow f 1 M subseteq f 1 N Bild und Urbild Bearbeiten Es sei f A B displaystyle f colon A to B eine Funktion M displaystyle M eine Teilmenge von A displaystyle A und N displaystyle N eine Teilmenge von B displaystyle B Dann gilt f M N M f 1 N displaystyle f M subseteq N iff M subseteq f 1 N d h es liegt eine Galoisverbindung vor M f 1 f M displaystyle M subseteq f 1 f M Ist f displaystyle f injektiv dann gilt die Gleichheit f f 1 N N displaystyle f f 1 N subseteq N Ist f displaystyle f surjektiv dann gilt die Gleichheit Hinreichend ist schon N f A displaystyle N subseteq f A dass also N displaystyle N eine Teilmenge des Bildes im f f A f a a A displaystyle operatorname im f f A f a mid a in A von f displaystyle f ist Urbild und Komposition Bearbeiten Fur beliebige Mengen A B C displaystyle A B C und beliebige Funktionen f A B g B C displaystyle f colon A to B g colon B to C bezeichne g f A C displaystyle g circ f colon A to C die Komposition von g displaystyle g mit f displaystyle f Dann gilt fur jede Teilmenge C C displaystyle C subseteq C g f 1 C f 1 g 1 C f 1 g 1 C displaystyle g circ f 1 C f 1 circ g 1 C f 1 g 1 C Siehe auch BearbeitenKern Algebra Homomorphiesatz Bild Mathematik Weblinks Bearbeiten Wiktionary Urbild Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Urbild Mathematik amp oldid 217663133, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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