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Der Begriff der σ {\displaystyle \sigma } -Endlichkeit (auch σ {\displaystyle \sigma } -Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in σ {\displaystyle \sigma } -endliche und nicht σ {\displaystyle \sigma } -endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge. Allgemein ist die σ {\displaystyle \sigma } -Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.

Inhaltsverzeichnis

Gegeben sei ein Messraum ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} . Dann heißt ein Maß μ {\displaystyle \mu } ein σ {\displaystyle \sigma } -endliches Maß, wenn es eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  1. Es existieren abzählbar viele Mengen A 1 , A 2 , A 3 , {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots } aus A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , die außerdem μ ( A n ) < {\displaystyle \mu (A_{n})<\infty } für alle n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } erfüllen und die X {\displaystyle X} überdecken. Es gilt also
    n N A n = X {\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X} .
  2. Es existieren abzählbar viele disjunkte Mengen A 1 , A 2 , A 3 , {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots } aus A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , die außerdem μ ( A n ) < {\displaystyle \mu (A_{n})<\infty } für alle n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } erfüllen und die X {\displaystyle X} überdecken. Es gilt also
    n N A n = X {\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X} .
  3. Es existiert eine strikt positive (d. h. f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} für alle x X {\displaystyle x\in X} ) messbare Funktion f {\displaystyle f} , so dass
    f ( x ) μ ( d x ) < {\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty } .

Der Maßraum ( X , A , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} wird dann auch als σ {\displaystyle \sigma } -endlicher Maßraum bezeichnet. Allgemeiner wird ein signiertes Maß σ {\displaystyle \sigma } -endlich genannt, wenn seine Variation σ {\displaystyle \sigma } -endlich ist.

Das Lebesgue-Maß λ {\displaystyle \lambda } auf den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra, ist nicht endlich, aber σ {\displaystyle \sigma } -endlich. Denn betrachtet man die Mengen

I n := ( n , n ) B ( R ) {\displaystyle I_{n}:=(-n,n)\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} ,

so ist λ ( I n ) = 2 n < {\displaystyle \lambda (I_{n})=2n<\infty } und

n = 1 I n = R {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}=\mathbb {R} } .

Somit erfüllt das Lebesgue-Maß das erste Kriterium in der obigen Konstruktion. Eine disjunkte Überdeckung mit Mengen endlichen Maßes wie im zweiten Punkt der Definition liefern beispielsweise die Mengen

B n = I n I n 1 {\displaystyle B_{n}=I_{n}\setminus I_{n-1}} ,

wobei B 1 = I 1 {\displaystyle B_{1}=I_{1}} ist. Dann ist λ ( B n ) = 2 {\displaystyle \lambda (B_{n})=2} und es gilt wieder

n = 1 B n = R {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=\mathbb {R} } .

Eine strikt positive Funktion mit endlichem Integral wie im dritten Punkt der Definition gefordert erhält man beispielsweise durch

f ( x ) = n = 1 1 B n ( x ) 2 n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mathbf {1} _{B_{n}}(x)}{2^{n}}}} .

Hierbei ist 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} die Indikatorfunktion auf der Menge A {\displaystyle A} .

Zu beachten ist, dass σ {\displaystyle \sigma } -Endlichkeit immer eine Eigenschaft eines Maßes in Kombination mit einem Messraum ist. So ist das Zählmaß auf einer Menge M {\displaystyle M} , versehen mit der Potenzmenge als σ {\displaystyle \sigma } -Algebra endlich, wenn M {\displaystyle M} endlich ist und genau dann σ {\displaystyle \sigma } -endlich, wenn M {\displaystyle M} höchstens abzählbar ist.

  • Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der σ {\displaystyle \sigma } -endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, σ {\displaystyle \sigma } -Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodým und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht σ {\displaystyle \sigma } -endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle σ {\displaystyle \sigma } -endlichen Teilräume anwendet).
  • Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe von σ {\displaystyle \sigma } -endlichen Maßen definiert.

Zwei Maße μ {\displaystyle \mu } und ν {\displaystyle \nu } auf einem gemeinsamen Messraum ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} heißen äquivalent, wenn sie dieselben Nullmengen besitzen. Das heißt, es gilt sowohl μ ν {\displaystyle \mu \ll \nu } als auch ν μ {\displaystyle \nu \ll \mu } , sie sind gegenseitig absolut stetig. Hierdurch ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf Maßen erklärt. Wir nehmen im Weiteren an, μ 0 {\displaystyle \mu \not \equiv 0} sei nicht das Nullmaß.

Viele der Anwendungen σ {\displaystyle \sigma } -endlicher Maße ergeben sich nun aus dem folgenden Satz:

Jedes σ {\displaystyle \sigma } -endliche Maß μ {\displaystyle \mu } ist äquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß P {\displaystyle P} .

Die Bedeutung des Satzes liegt in der Äquivalenz zu einem endlichen Maß, selbst dann, wenn μ ( X ) = {\displaystyle \mu (X)=\infty } unendlich ist. Insbesondere gibt es stets eine μ {\displaystyle \mu } -integrierbare Funktion w L 1 ( μ ) {\displaystyle w\in L^{1}(\mu )} , so dass 0 < w ( x ) < 1 {\displaystyle 0<w(x)<1} für alle x X {\displaystyle x\in X} gilt.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem M {\displaystyle {\mathcal {M}}} auf der Grundmenge X {\displaystyle X} , also M P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)} . Sei

μ : M [ 0 , ] {\displaystyle \mu :{\mathcal {M}}\to [0,\infty ]}

eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion σ {\displaystyle \sigma } -endlich, wenn es eine abzählbare Folge ( A n ) n N {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} von Mengen aus M {\displaystyle {\mathcal {M}}} gibt, so dass

n = 1 A n = X {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=X}

gilt und

μ ( A n ) < für alle n N {\displaystyle \mu (A_{n})<\infty {\text{ für alle }}n\in \mathbb {N} }

gilt. Insbesondere muss die Menge X {\displaystyle X} aber nicht im Mengensystem M {\displaystyle {\mathcal {M}}} enthalten sein.

Bemerkung

Mit der obigen Definition lässt sich die σ {\displaystyle \sigma } -Endlichkeit auf allgemeinere Mengenfunktionen ausweiten. Eine der wichtigsten Anwendungen dieses Begriffes ist der Maßerweiterungssatz von Carathéodory, nach dem jedes σ {\displaystyle \sigma } -endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten σ {\displaystyle \sigma } -Algebra fortsetzbar ist. Ohne die σ {\displaystyle \sigma } -Endlichkeit folgt hier nicht die Eindeutigkeit.

Ein dem σ {\displaystyle \sigma } -endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines moderaten Maßes. Hierbei handelt es sich um ein Borel-Maß, für das eine abzählbare Überdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert.

Zudem existiert ein Begriff der s-Finitheit. Man nennt ein Maß μ {\displaystyle \mu } s {\displaystyle s} -finit, falls es die abzählbare Summe von endlichen Maßen ist. Jedes σ {\displaystyle \sigma } -endliche Maß ist immer s {\displaystyle s} -finit, aber nicht jedes s {\displaystyle s} -finite Maß ist σ {\displaystyle \sigma } -endlich.

s Endlichkeit Sprache Beobachten Bearbeiten Weitergeleitet von S endliches Mass Der Begriff der s displaystyle sigma Endlichkeit auch s displaystyle sigma Finitheit wird in der mathematischen Masstheorie verwendet und liefert eine Abstufung von messbaren Mengen von unendlichem Mass in s displaystyle sigma endliche und nicht s displaystyle sigma endliche Mengen Er wird aus ahnlichen Grunden eingefuhrt wie der Begriff der Abzahlbarkeit bezuglich der Anzahl von Elementen einer Menge Allgemein ist die s displaystyle sigma Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet wenn klar ist um welches es sich handelt Inhaltsverzeichnis 1 Definition fur Masse 2 Beispiele 3 Anwendung 4 Aquivalenz zu Wahrscheinlichkeitsmassen 5 Definition fur Mengenfunktionen 5 1 Definition 5 2 Bemerkung 6 Verwandte Begriffe 7 LiteraturDefinition fur Masse BearbeitenGegeben sei ein Messraum X A displaystyle X mathcal A Dann heisst ein Mass m displaystyle mu ein s displaystyle sigma endliches Mass wenn es eine der drei folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt Es existieren abzahlbar viele Mengen A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 A 2 A 3 dots aus A displaystyle mathcal A die ausserdem m A n lt displaystyle mu A n lt infty fur alle n N displaystyle n in mathbb N erfullen und die X displaystyle X uberdecken Es gilt also n N A n X displaystyle bigcup n in mathbb N A n X Es existieren abzahlbar viele disjunkte Mengen A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 A 2 A 3 dots aus A displaystyle mathcal A die ausserdem m A n lt displaystyle mu A n lt infty fur alle n N displaystyle n in mathbb N erfullen und die X displaystyle X uberdecken Es gilt also n N A n X displaystyle bigcup n in mathbb N A n X Es existiert eine strikt positive d h f x gt 0 displaystyle f x gt 0 fur alle x X displaystyle x in X messbare Funktion f displaystyle f so dass f x m d x lt displaystyle int f x mu mathrm d x lt infty Der Massraum X A m displaystyle X mathcal A mu wird dann auch als s displaystyle sigma endlicher Massraum bezeichnet Allgemeiner wird ein signiertes Mass s displaystyle sigma endlich genannt wenn seine Variation s displaystyle sigma endlich ist Beispiele BearbeitenDas Lebesgue Mass l displaystyle lambda auf den reellen Zahlen versehen mit der Borelschen s Algebra ist nicht endlich aber s displaystyle sigma endlich Denn betrachtet man die Mengen I n n n B R displaystyle I n n n in mathcal B mathbb R so ist l I n 2 n lt displaystyle lambda I n 2n lt infty und n 1 I n R displaystyle bigcup n 1 infty I n mathbb R Somit erfullt das Lebesgue Mass das erste Kriterium in der obigen Konstruktion Eine disjunkte Uberdeckung mit Mengen endlichen Masses wie im zweiten Punkt der Definition liefern beispielsweise die Mengen B n I n I n 1 displaystyle B n I n setminus I n 1 wobei B 1 I 1 displaystyle B 1 I 1 ist Dann ist l B n 2 displaystyle lambda B n 2 und es gilt wieder n 1 B n R displaystyle bigcup n 1 infty B n mathbb R Eine strikt positive Funktion mit endlichem Integral wie im dritten Punkt der Definition gefordert erhalt man beispielsweise durch f x n 1 1 B n x 2 n displaystyle f x sum n 1 infty frac mathbf 1 B n x 2 n Hierbei ist 1 A displaystyle mathbf 1 A die Indikatorfunktion auf der Menge A displaystyle A Zu beachten ist dass s displaystyle sigma Endlichkeit immer eine Eigenschaft eines Masses in Kombination mit einem Messraum ist So ist das Zahlmass auf einer Menge M displaystyle M versehen mit der Potenzmenge als s displaystyle sigma Algebra endlich wenn M displaystyle M endlich ist und genau dann s displaystyle sigma endlich wenn M displaystyle M hochstens abzahlbar ist Anwendung BearbeitenNicht endliche Masse konnen pathologische Eigenschaften aufweisen jedoch sind viele der haufig betrachteten Masse nicht endlich Die Klasse der s displaystyle sigma endlichen Masse teilt mit den endlichen Massen einige angenehme Eigenschaften s displaystyle sigma Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilitat von topologischen Raumen verglichen werden Einige Satze der Analysis wie der Satz von Radon Nikodym und der Satz von Fubini gelten zum Beispiel nicht mehr fur nicht s displaystyle sigma endliche Masse mitunter ist jedoch eine Ubertragung auf allgemeinere Falle moglich indem man den Satz fur alle s displaystyle sigma endlichen Teilraume anwendet Das Birkhoff Integral fur Banachraum wertige Funktionen wird mit Hilfe von s displaystyle sigma endlichen Massen definiert Aquivalenz zu Wahrscheinlichkeitsmassen BearbeitenZwei Masse m displaystyle mu und n displaystyle nu auf einem gemeinsamen Messraum X A displaystyle X mathcal A heissen aquivalent wenn sie dieselben Nullmengen besitzen Das heisst es gilt sowohl m n displaystyle mu ll nu als auch n m displaystyle nu ll mu sie sind gegenseitig absolut stetig Hierdurch ist tatsachlich eine Aquivalenzrelation auf Massen erklart Wir nehmen im Weiteren an m 0 displaystyle mu not equiv 0 sei nicht das Nullmass Viele der Anwendungen s displaystyle sigma endlicher Masse ergeben sich nun aus dem folgenden Satz Jedes s displaystyle sigma endliche Mass m displaystyle mu ist aquivalent zu einem Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P Die Bedeutung des Satzes liegt in der Aquivalenz zu einem endlichen Mass selbst dann wenn m X displaystyle mu X infty unendlich ist Insbesondere gibt es stets eine m displaystyle mu integrierbare Funktion w L 1 m displaystyle w in L 1 mu so dass 0 lt w x lt 1 displaystyle 0 lt w x lt 1 fur alle x X displaystyle x in X gilt Definition fur Mengenfunktionen BearbeitenDefinition Bearbeiten Gegeben sei ein Mengensystem M displaystyle mathcal M auf der Grundmenge X displaystyle X also M P X displaystyle mathcal M subset mathcal P X Sei m M 0 displaystyle mu mathcal M to 0 infty eine positive Mengenfunktion Dann heisst die Mengenfunktion s displaystyle sigma endlich wenn es eine abzahlbare Folge A n n N displaystyle A n n in mathbb N von Mengen aus M displaystyle mathcal M gibt so dass n 1 A n X displaystyle bigcup n 1 infty A n X gilt und m A n lt fur alle n N displaystyle mu A n lt infty text fur alle n in mathbb N gilt Insbesondere muss die Menge X displaystyle X aber nicht im Mengensystem M displaystyle mathcal M enthalten sein Bemerkung Bearbeiten Mit der obigen Definition lasst sich die s displaystyle sigma Endlichkeit auf allgemeinere Mengenfunktionen ausweiten Eine der wichtigsten Anwendungen dieses Begriffes ist der Masserweiterungssatz von Caratheodory nach dem jedes s displaystyle sigma endliche Pramass auf einem Halbring eindeutig zu einem Mass auf der erzeugten s displaystyle sigma Algebra fortsetzbar ist Ohne die s displaystyle sigma Endlichkeit folgt hier nicht die Eindeutigkeit Verwandte Begriffe BearbeitenEin dem s displaystyle sigma endlichen Mass verwandter Begriff ist der eines moderaten Masses Hierbei handelt es sich um ein Borel Mass fur das eine abzahlbare Uberdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Masses existiert Zudem existiert ein Begriff der s Finitheit Man nennt ein Mass m displaystyle mu s displaystyle s finit falls es die abzahlbare Summe von endlichen Massen ist Jedes s displaystyle sigma endliche Mass ist immer s displaystyle s finit aber nicht jedes s displaystyle s finite Mass ist s displaystyle sigma endlich Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Walter Rudin Real and Complex Analysis 3 Auflage McGraw Hill New York 1987 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title S Endlichkeit amp oldid 217747005, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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