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Ein multiplikatives Geschlecht auch Hirzebruch-Geschlecht ist ein Objekt der Mathematik. Es wird in den Teilgebieten der Differentialtopologie und der algebraischen Topologie untersucht. Als topologische Invariante kann es helfen, Mannigfaltigkeiten, die nicht zueinander äquivalent (homeomorph) sind, zu unterscheiden.

In den späten 1950er Jahren entwickelte Friedrich Hirzebruch eine Methode, bei der er multiplikative Geschlechter mittels multiplikativer Folgen (auch multiplikative Sequenzen) definierte. Zu diesen Geschlechtern, die durch multiplikative Folgen definiert werden können, gehören das Todd-Geschlecht, das Â-Geschlecht, das L-Geschlecht und die Klasse der elliptischen Geschlechter. Diese Objekte sind zentral bei der Definition des topologischen Index für den Atiyah-Singer-Indexsatz. Für das L-Geschlecht bewies Hirzebruch in seinem Signatursatz, dass es mit der Signatur der Mannigfaltigkeit übereinstimmt.

Inhaltsverzeichnis

Ein multiplikatives Geschlecht ist eine Abbildung ϕ {\displaystyle \phi } , die jeder geschlossenen orientierten glatten Mannigfaltigkeit der Dimension n {\displaystyle n} ein Element aus einem Integritätsring R {\displaystyle R} zuordnet, so dass für je zwei solcher Mannigfaltigkeiten X n {\displaystyle X^{n}} und Y n {\displaystyle Y^{n}} die drei Bedingungen

  • ϕ ( X n Y n ) = ϕ ( X n ) + ϕ ( Y n ) {\displaystyle \phi (X^{n}\sqcup Y^{n})=\phi (X^{n})+\phi (Y^{n})} , wobei {\displaystyle \sqcup } die disjunkte Vereinigung ist,
  • ϕ ( X n × Y n ) = ϕ ( X n ) ϕ ( Y n ) {\displaystyle \phi (X^{n}\times Y^{n})=\phi (X^{n})\phi (Y^{n})}
  • ϕ ( X n ) = 0 {\displaystyle \phi (X^{n})=0} , falls es eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit W n + 1 {\displaystyle W^{n+1}} der Dimension n + 1 {\displaystyle n+1} gibt mit W n + 1 = X n {\displaystyle \partial W^{n+1}=X^{n}}

erfüllt sind. Ein multiplikatives Geschlecht ϕ {\displaystyle \phi } kann also (äquivalent) als ein Ringhomomorphismus (der auch das Eins-Element beachtet) vom Kobordismusring nach R {\displaystyle R} verstanden werden. Oftmals wird als Integritätsring die Menge der rationalen Zahlen verwendet.

Sei f Q [ [ x ] ] {\displaystyle f\in \mathbb {Q} [[x]]} eine formale Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten und konstantem Term 1 {\displaystyle 1} und sei n Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{+}} eine positive ganze Zahl. Die formale Potenzreihe f ( x 1 ) f ( x n ) {\displaystyle f(x_{1})\cdots f(x_{n})} ist dann symmetrisch. Daher existieren Polynome F k {\displaystyle F_{k}} , so dass

f ( x 1 ) f ( x n ) = 1 + F 1 ( σ 1 ) + F 2 ( σ 1 , σ 2 ) + F 3 ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) + {\displaystyle f(x_{1})\cdots f(x_{n})=1+F_{1}(\sigma _{1})+F_{2}(\sigma _{1},\sigma _{2})+F_{3}(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})+\ldots }

gilt, wobei

σ k ( x 1 , , x k ) := i 1 < < i k x i 1 x i k {\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k}):=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}}

das k-te elementarsymmetrische Polynom bezeichnet. Die Folge ( F k ) {\displaystyle (F_{k})} von Polynomen heißt multiplikative Folge oder multiplikative Sequenz bezüglich der formalen Potenzreihe f {\displaystyle f} .

In diesem Abschnitt wird das Geschlecht einer Mannigfaltigkeit bezüglich einer multiplikativen Folge definiert. Dieses Geschlecht ist ein multiplikatives Geschlecht im obigen Sinn. Die Definition geschieht getrennt nach glatten beziehungsweise komplexen Mannigfaltigkeiten. Jedoch sind beide Definitionen ähnlich.

Für glatte Mannigfaltigkeiten

Sei X {\displaystyle X} eine orientierte glatte n {\displaystyle n} -dimensionale Mannigfaltigkeit, T X {\displaystyle TX} ihr Tangentialbündel, das ein reelles Vektorbündel ist, und ( F k ) {\displaystyle (F_{k})} eine multiplikative Folge zu der formalen Potenzreihe f {\displaystyle f} . Dann ist das multiplikative Geschlecht von X {\displaystyle X} definiert durch

F ( X ) := F k ( p 1 , , p k ) , [ X ] {\displaystyle F(X):=\langle F_{k}(p_{1},\ldots ,p_{k}),[X]\rangle } ,

falls n = 4 k {\displaystyle n=4k} ist und sonst durch F ( X ) = 0 {\displaystyle F(X)=0} . Dabei bezeichnet p i {\displaystyle p_{i}} die i {\displaystyle i} -te Pontrjagin-Klasse von T M {\displaystyle TM} , [ X ] {\displaystyle [X]} die Fundamentalklasse von X {\displaystyle X} und , {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } die natürliche Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.

Für komplexe Mannigfaltigkeiten

Sei X {\displaystyle X} eine orientierte komplexe Mannigfaltigkeit mit dim C X = n {\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n} , sei T X {\displaystyle TX} ihr Tangentialbündel, das ein komplexes Vektorbündel ist, und ( F k ) {\displaystyle (F_{k})} eine multiplikative Folge zu der formalen Potenzreihe f {\displaystyle f} . Dann ist das multiplikative Geschlecht von X {\displaystyle X} definiert durch

F ( E ) := F k ( c 1 , , c k ) , [ X ] {\displaystyle F(E):=\langle F_{k}(c_{1},\ldots ,c_{k}),[X]\rangle } ,

falls n = 2 k {\displaystyle n=2k} ist und sonst durch F ( E ) = 0 {\displaystyle F(E)=0} . Dabei bezeichnet c i {\displaystyle c_{i}} die i {\displaystyle i} -te Chern-Klasse von T X {\displaystyle TX} , [ X ] {\displaystyle [X]} die Fundamentalklasse von X {\displaystyle X} und , {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } die natürliche Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.

In diesem Abschnitt werden spezielle, zentrale multiplikative Geschlechter angeführt.

Todd-Geschlecht

Hauptartikel: Todd-Klasse

Die durch die (formale) Potenzreihe

z 1 exp ( z ) = 1 + 1 2 z + i = 1 ( 1 ) i + 1 B 2 i ( 2 i ) ! z 2 i {\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}=1+{\frac {1}{2}}z+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i+1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}z^{2i}} ,

wobei B 2 i {\displaystyle B_{2i}} die Bernoulli-Zahlen sind, definierte multiplikative Folge ( Td i ) {\displaystyle (\operatorname {Td} _{i})} , heißt Todd-Folge. Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Chern-Klassen lauten:

Td 0 = 1 Td 1 ( c 1 ) = c 1 / 2 Td 2 ( c 1 , c 2 ) = ( c 2 + c 1 2 ) / 12 Td 3 ( c 1 , c 2 , c 3 ) = ( c 1 c 2 ) / 24 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Td} _{0}&=1\\\operatorname {Td} _{1}(c_{1})&=c_{1}/2\\\operatorname {Td} _{2}(c_{1},c_{2})&=(c_{2}+c_{1}^{2})/12\\\operatorname {Td} _{3}(c_{1},c_{2},c_{3})&=(c_{1}c_{2})/24\,.\end{aligned}}}

Die totale Todd-Klasse T d C {\displaystyle \mathbf {Td} _{\mathbb {C} }} ist dann gegeben durch

T d C ( E ) = i Td i ( c 1 , , c i ) {\displaystyle \mathbf {Td} _{\mathbb {C} }(E)=\sum _{i}\operatorname {Td} _{i}(c_{1},\cdots ,c_{i})} .

Für eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit X {\displaystyle X} der (reellen) Dimension 2 n {\displaystyle 2n} ist das Todd-Geschlecht definiert durch

Td ( X ) := Td n ( T X ) , [ X ] {\displaystyle \operatorname {Td} (X):=\langle \operatorname {Td} _{n}(TX),[X]\rangle } .

Â-Geschlecht

Die durch die (formale) Potenzreihe

a ^ ( x ) = x 2 sinh ( x 2 ) = 1 1 24 x + 7 2 7 3 2 5 x 2 + {\displaystyle {\hat {a}}(x)={\frac {\frac {\sqrt {x}}{2}}{\sinh \left({\frac {\sqrt {x}}{2}}\right)}}=1-{\frac {1}{24}}x+{\frac {7}{2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5}}x^{2}+\cdots }

definierte multiplikative Folge ( A ^ i ) {\displaystyle ({\hat {A}}_{i})} , heißt Â-Folge (gesprochen: A-Dach-Folge). Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Pontrjagin-Klassen sind:

A ^ 0 = 1 A ^ 1 ( p 1 ) = p 1 24 A ^ 2 ( p 1 , p 2 ) = 1 2 7 3 2 5 ( 4 p 2 + 7 p 1 2 ) A ^ 3 ( p 1 , p 2 , p 3 ) = 1 2 10 3 3 5 7 ( 16 p 3 44 p 2 p 1 + 31 p 1 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{0}&=1\\{\hat {A}}_{1}(p_{1})&=-{\frac {p_{1}}{24}}\\{\hat {A}}_{2}(p_{1},p_{2})&={\frac {1}{2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})\\{\hat {A}}_{3}(p_{1},p_{2},p_{3})&={\frac {1}{2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}}(16p_{3}-44p_{2}p_{1}+31p_{1}^{3})\,.\end{aligned}}}

Die Â-Klasse A ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {A}} } ist dann definiert durch

A ^ ( E ) = i A ^ i ( p 1 , , p i ) {\displaystyle \mathbf {\hat {A}} (E)=\sum _{i}{\hat {A}}_{i}(p_{1},\cdots ,p_{i})} .

Die Â-Klasse ist das reelle Analogon der Todd-Klasse. Für jedes orientierte reelle Vektorbündel E {\displaystyle E} gilt nämlich T d C ( E ) = A ^ ( E ) 2 {\displaystyle \mathbf {Td} _{\mathbb {C} }(E)=\mathbf {\hat {A}} (E)^{2}} . Das Â-Geschlecht A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} ist genauso wie zuvor das Todd-Geschlecht definiert als die Â-Klasse gepaart mit der Fundamentalklasse.

L-Geschlecht

Die durch die (formale) Potenzreihe

L ( x ) = x tanh ( x ) = k 0 2 2 k B 2 k x k ( 2 k ) ! = 1 + x 3 x 2 45 + {\displaystyle L(x)={\frac {\sqrt {x}}{\tanh \left({\sqrt {x}}\right)}}=\sum _{k\geq 0}{2^{2k}B_{2k}x^{k} \over (2k)!}=1+{x \over 3}-{x^{2} \over 45}+\cdots } ,

wobei B 2 i {\displaystyle B_{2i}} die Bernoulli-Zahlen sind, definierte multiplikative Folge ( L i ) {\displaystyle (L_{i})} , heißt Folge der L-Polynome. Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Pontrjagin-Klassen sind:

L 0 = 1 L 1 ( p 1 ) = p 1 3 L 2 ( p 1 , p 2 ) = 1 45 ( 7 p 2 p 1 2 ) L 3 ( p 1 , p 2 , p 3 ) = 1 945 ( 62 p 3 13 p 1 p 2 + 2 p 1 3 ) L 4 ( p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) = 1 14175 ( 381 p 4 71 p 1 p 3 19 p 2 2 + 22 p 1 2 p 2 3 p 1 4 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=1\\L_{1}(p_{1})&={\frac {p_{1}}{3}}\\L_{2}(p_{1},p_{2})&={\frac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})\\L_{3}(p_{1},p_{2},p_{3})&={\frac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})\\L_{4}(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})&={\frac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4})\,.\end{aligned}}}

Für eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit X {\displaystyle X} der Dimension 4 n {\displaystyle 4n} ist das L-Geschlecht ebenfalls gegeben durch

L ( X ) := L n ( T X ) , [ X ] {\displaystyle L(X):=\langle L_{n}(TX),[X]\rangle } .

Hirzebruch bewies mit dem Signatursatz, dass das L-Geschlecht mit der Signatur der Mannigfaltigkeit übereinstimmt.

Elliptisches Geschlecht

Ein multiplikatives Geschlecht wird elliptisches Geschlecht genannt, falls die formale Potenzreihe Q ( z ) = z f ( z ) {\displaystyle Q(z)={\tfrac {z}{f(z)}}} die Differentialgleichung

f 2 = 1 2 δ f 2 + ϵ f 4 {\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}

mit Konstanten δ {\displaystyle \delta } und ϵ {\displaystyle \epsilon } erfüllt.

Eine explizite Darstellung von f {\displaystyle f} ist

f ( z ) = s n ( a z , ϵ a 2 ) a {\displaystyle f(z)={\frac {{\rm {sn}}\left(az,{\frac {\sqrt {\epsilon }}{{a}^{2}}}\right)}{a}}} ,

wobei

a = δ + δ 2 ϵ {\displaystyle a={\sqrt {\delta +{\sqrt {{\delta }^{2}-\epsilon }}}}}

und sn {\displaystyle \operatorname {sn} } die Jacobische elliptische Funktion ist. Also ist der Logarithmus des multiplikativen Geschlechts das elliptische Integral erster Art

log ( ϕ ) ( z ) = 0 z d t 1 2 δ f 2 + ϵ f 4 {\displaystyle \log(\phi )(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}}}} .

Dieses wurde in der ersten Definition des elliptischen Geschlechtes genutzt wurde und daher heute auch das Attribut elliptisch im Namen trägt. Gilt δ 2 = ϵ {\displaystyle \delta ^{2}=\epsilon } oder ϵ = 0 {\displaystyle \epsilon =0} , dann nennt man das entsprechende elliptische Geschlecht degeneriert.

Setzt man beispielsweise δ = ϵ = 1 {\displaystyle \delta =\epsilon =1} und f ( z ) = tanh ( z ) {\displaystyle f(z)=\tanh(z)} , so erhält man das L-Geschlecht. Das Â-Geschlecht erhält man, wenn man δ = 1 / 8 , ϵ = 0 {\displaystyle \delta =-1/8,\ \epsilon =0} und f ( z ) = 2 sinh ( z / 2 ) {\displaystyle f(z)=2\sinh(z/2)} .

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Multiplikatives Geschlecht Objekt der Mathematik Sprache Beobachten Bearbeiten Weitergeleitet von A Geschlecht Ein multiplikatives Geschlecht auch Hirzebruch Geschlecht 1 ist ein Objekt der Mathematik Es wird in den Teilgebieten der Differentialtopologie und der algebraischen Topologie untersucht Als topologische Invariante kann es helfen Mannigfaltigkeiten die nicht zueinander aquivalent homeomorph sind zu unterscheiden In den spaten 1950er Jahren entwickelte Friedrich Hirzebruch eine Methode bei der er multiplikative Geschlechter mittels multiplikativer Folgen 2 auch multiplikative Sequenzen 3 definierte Zu diesen Geschlechtern die durch multiplikative Folgen definiert werden konnen gehoren das Todd Geschlecht das A Geschlecht das L Geschlecht und die Klasse der elliptischen Geschlechter Diese Objekte sind zentral bei der Definition des topologischen Index fur den Atiyah Singer Indexsatz Fur das L Geschlecht bewies Hirzebruch in seinem Signatursatz dass es mit der Signatur der Mannigfaltigkeit ubereinstimmt Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikatives Geschlecht 2 Multiplikative Folge 3 Geschlecht einer multiplikativen Folge 3 1 Fur glatte Mannigfaltigkeiten 3 2 Fur komplexe Mannigfaltigkeiten 4 Besondere multiplikative Geschlechter 4 1 Todd Geschlecht 4 2 A Geschlecht 4 3 L Geschlecht 4 4 Elliptisches Geschlecht 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseMultiplikatives Geschlecht BearbeitenEin multiplikatives Geschlecht ist eine Abbildung ϕ displaystyle phi die jeder geschlossenen orientierten glatten Mannigfaltigkeit der Dimension n displaystyle n ein Element aus einem Integritatsring R displaystyle R zuordnet so dass fur je zwei solcher Mannigfaltigkeiten X n displaystyle X n und Y n displaystyle Y n die drei Bedingungen ϕ X n Y n ϕ X n ϕ Y n displaystyle phi X n sqcup Y n phi X n phi Y n wobei displaystyle sqcup die disjunkte Vereinigung ist ϕ X n Y n ϕ X n ϕ Y n displaystyle phi X n times Y n phi X n phi Y n ϕ X n 0 displaystyle phi X n 0 falls es eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit W n 1 displaystyle W n 1 der Dimension n 1 displaystyle n 1 gibt mit W n 1 X n displaystyle partial W n 1 X n erfullt sind Ein multiplikatives Geschlecht ϕ displaystyle phi kann also aquivalent als ein Ringhomomorphismus der auch das Eins Element beachtet vom Kobordismusring nach R displaystyle R verstanden werden Oftmals wird als Integritatsring die Menge der rationalen Zahlen verwendet Multiplikative Folge BearbeitenSei f Q x displaystyle f in mathbb Q x eine formale Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten und konstantem Term 1 displaystyle 1 und sei n Z displaystyle n in mathbb Z eine positive ganze Zahl Die formale Potenzreihe f x 1 f x n displaystyle f x 1 cdots f x n ist dann symmetrisch Daher existieren Polynome F k displaystyle F k so dass f x 1 f x n 1 F 1 s 1 F 2 s 1 s 2 F 3 s 1 s 2 s 3 displaystyle f x 1 cdots f x n 1 F 1 sigma 1 F 2 sigma 1 sigma 2 F 3 sigma 1 sigma 2 sigma 3 ldots gilt wobei s k x 1 x k i 1 lt lt i k x i 1 x i k displaystyle sigma k x 1 ldots x k sum i 1 lt cdots lt i k x i 1 cdots x i k das k te elementarsymmetrische Polynom bezeichnet Die Folge F k displaystyle F k von Polynomen heisst multiplikative Folge oder multiplikative Sequenz bezuglich der formalen Potenzreihe f displaystyle f 4 Geschlecht einer multiplikativen Folge BearbeitenIn diesem Abschnitt wird das Geschlecht einer Mannigfaltigkeit bezuglich einer multiplikativen Folge definiert Dieses Geschlecht ist ein multiplikatives Geschlecht im obigen Sinn 5 Die Definition geschieht getrennt nach glatten beziehungsweise komplexen Mannigfaltigkeiten Jedoch sind beide Definitionen ahnlich Fur glatte Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Sei X displaystyle X eine orientierte glatte n displaystyle n dimensionale Mannigfaltigkeit T X displaystyle TX ihr Tangentialbundel das ein reelles Vektorbundel ist und F k displaystyle F k eine multiplikative Folge zu der formalen Potenzreihe f displaystyle f Dann ist das multiplikative Geschlecht von X displaystyle X definiert durch F X F k p 1 p k X displaystyle F X langle F k p 1 ldots p k X rangle falls n 4 k displaystyle n 4k ist und sonst durch F X 0 displaystyle F X 0 Dabei bezeichnet p i displaystyle p i die i displaystyle i te Pontrjagin Klasse von T M displaystyle TM X displaystyle X die Fundamentalklasse von X displaystyle X und displaystyle langle cdot cdot rangle die naturliche Paarung zwischen Homologie und Kohomologie 6 7 Fur komplexe Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Sei X displaystyle X eine orientierte komplexe Mannigfaltigkeit mit dim C X n displaystyle dim mathbb C X n sei T X displaystyle TX ihr Tangentialbundel das ein komplexes Vektorbundel ist und F k displaystyle F k eine multiplikative Folge zu der formalen Potenzreihe f displaystyle f Dann ist das multiplikative Geschlecht von X displaystyle X definiert durch F E F k c 1 c k X displaystyle F E langle F k c 1 ldots c k X rangle falls n 2 k displaystyle n 2k ist und sonst durch F E 0 displaystyle F E 0 Dabei bezeichnet c i displaystyle c i die i displaystyle i te Chern Klasse von T X displaystyle TX X displaystyle X die Fundamentalklasse von X displaystyle X und displaystyle langle cdot cdot rangle die naturliche Paarung zwischen Homologie und Kohomologie 8 Besondere multiplikative Geschlechter BearbeitenIn diesem Abschnitt werden spezielle zentrale multiplikative Geschlechter angefuhrt Todd Geschlecht Bearbeiten Hauptartikel Todd Klasse Die durch die formale Potenzreihe z 1 exp z 1 1 2 z i 1 1 i 1 B 2 i 2 i z 2 i displaystyle frac z 1 exp z 1 frac 1 2 z sum i 1 infty 1 i 1 frac B 2i 2i z 2i wobei B 2 i displaystyle B 2i die Bernoulli Zahlen sind definierte multiplikative Folge Td i displaystyle operatorname Td i heisst Todd Folge Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Chern Klassen lauten Td 0 1 Td 1 c 1 c 1 2 Td 2 c 1 c 2 c 2 c 1 2 12 Td 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 24 displaystyle begin aligned operatorname Td 0 amp 1 operatorname Td 1 c 1 amp c 1 2 operatorname Td 2 c 1 c 2 amp c 2 c 1 2 12 operatorname Td 3 c 1 c 2 c 3 amp c 1 c 2 24 end aligned Die totale Todd Klasse T d C displaystyle mathbf Td mathbb C ist dann gegeben durch T d C E i Td i c 1 c i displaystyle mathbf Td mathbb C E sum i operatorname Td i c 1 cdots c i Fur eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit X displaystyle X der reellen Dimension 2 n displaystyle 2n ist das Todd Geschlecht definiert durch 8 Td X Td n T X X displaystyle operatorname Td X langle operatorname Td n TX X rangle A Geschlecht Bearbeiten Die durch die formale Potenzreihe a x x 2 sinh x 2 1 1 24 x 7 2 7 3 2 5 x 2 displaystyle hat a x frac frac sqrt x 2 sinh left frac sqrt x 2 right 1 frac 1 24 x frac 7 2 7 cdot 3 2 cdot 5 x 2 cdots definierte multiplikative Folge A i displaystyle hat A i heisst A Folge gesprochen A Dach Folge Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Pontrjagin Klassen sind A 0 1 A 1 p 1 p 1 24 A 2 p 1 p 2 1 2 7 3 2 5 4 p 2 7 p 1 2 A 3 p 1 p 2 p 3 1 2 10 3 3 5 7 16 p 3 44 p 2 p 1 31 p 1 3 displaystyle begin aligned hat A 0 amp 1 hat A 1 p 1 amp frac p 1 24 hat A 2 p 1 p 2 amp frac 1 2 7 cdot 3 2 cdot 5 4p 2 7p 1 2 hat A 3 p 1 p 2 p 3 amp frac 1 2 10 cdot 3 3 cdot 5 cdot 7 16p 3 44p 2 p 1 31p 1 3 end aligned Die A Klasse A displaystyle mathbf hat A ist dann definiert durch A E i A i p 1 p i displaystyle mathbf hat A E sum i hat A i p 1 cdots p i Die A Klasse ist das reelle Analogon der Todd Klasse Fur jedes orientierte reelle Vektorbundel E displaystyle E gilt namlich T d C E A E 2 displaystyle mathbf Td mathbb C E mathbf hat A E 2 Das A Geschlecht A displaystyle hat A ist genauso wie zuvor das Todd Geschlecht definiert als die A Klasse gepaart mit der Fundamentalklasse 9 L Geschlecht Bearbeiten Die durch die formale Potenzreihe L x x tanh x k 0 2 2 k B 2 k x k 2 k 1 x 3 x 2 45 displaystyle L x frac sqrt x tanh left sqrt x right sum k geq 0 2 2k B 2k x k over 2k 1 x over 3 x 2 over 45 cdots wobei B 2 i displaystyle B 2i die Bernoulli Zahlen sind definierte multiplikative Folge L i displaystyle L i heisst Folge der L Polynome Die ersten Terme der Folge mit Koeffizienten in den Pontrjagin Klassen sind L 0 1 L 1 p 1 p 1 3 L 2 p 1 p 2 1 45 7 p 2 p 1 2 L 3 p 1 p 2 p 3 1 945 62 p 3 13 p 1 p 2 2 p 1 3 L 4 p 1 p 2 p 3 p 4 1 14175 381 p 4 71 p 1 p 3 19 p 2 2 22 p 1 2 p 2 3 p 1 4 displaystyle begin aligned L 0 amp 1 L 1 p 1 amp frac p 1 3 L 2 p 1 p 2 amp frac 1 45 7p 2 p 1 2 L 3 p 1 p 2 p 3 amp frac 1 945 62p 3 13p 1 p 2 2p 1 3 L 4 p 1 p 2 p 3 p 4 amp frac 1 14175 381p 4 71p 1 p 3 19p 2 2 22p 1 2 p 2 3p 1 4 end aligned Fur eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit X displaystyle X der Dimension 4 n displaystyle 4n ist das L Geschlecht ebenfalls gegeben durch L X L n T X X displaystyle L X langle L n TX X rangle Hirzebruch bewies mit dem Signatursatz dass das L Geschlecht mit der Signatur der Mannigfaltigkeit ubereinstimmt 10 Elliptisches Geschlecht Bearbeiten Ein multiplikatives Geschlecht wird elliptisches Geschlecht genannt falls die formale Potenzreihe Q z z f z displaystyle Q z tfrac z f z die Differentialgleichung f 2 1 2 d f 2 ϵ f 4 displaystyle f 2 1 2 delta f 2 epsilon f 4 mit Konstanten d displaystyle delta und ϵ displaystyle epsilon erfullt Eine explizite Darstellung von f displaystyle f ist f z s n a z ϵ a 2 a displaystyle f z frac rm sn left az frac sqrt epsilon a 2 right a wobei a d d 2 ϵ displaystyle a sqrt delta sqrt delta 2 epsilon und sn displaystyle operatorname sn die Jacobische elliptische Funktion ist Also ist der Logarithmus des multiplikativen Geschlechts das elliptische Integral erster Art log ϕ z 0 z d t 1 2 d f 2 ϵ f 4 displaystyle log phi z int 0 z frac mathrm d t sqrt 1 2 delta f 2 epsilon f 4 Dieses wurde in der ersten Definition des elliptischen Geschlechtes genutzt wurde und daher heute auch das Attribut elliptisch im Namen tragt 11 Gilt d 2 ϵ displaystyle delta 2 epsilon oder ϵ 0 displaystyle epsilon 0 dann nennt man das entsprechende elliptische Geschlecht degeneriert Setzt man beispielsweise d ϵ 1 displaystyle delta epsilon 1 und f z tanh z displaystyle f z tanh z so erhalt man das L Geschlecht Das A Geschlecht erhalt man wenn man d 1 8 ϵ 0 displaystyle delta 1 8 epsilon 0 und f z 2 sinh z 2 displaystyle f z 2 sinh z 2 12 Weblinks BearbeitenThe manifold atlas project Formal group laws and genera Elliptic genera In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 978 1 55608 010 4 englisch online Vorlage EoM idEinzelnachweise Bearbeiten Sergeĭ Petrovich Novikov Topics in Topology and Mathematical Physics American Mathematical Soc 1995 ISBN 978 0 8218 0455 1 S 25 google com Ruedi Seiler Volker Enss Werner Muller Geometrie und Physik Akademie der Wissenschaften Zu Berlin Forschungsberichte De Gruyter 1997 ISBN 978 3110139440 S 170 Matthias Kreck Eine invariante fur stabil parallelisierte Mannigfaltigkeiten Dissertation Online H B Lawson M Michelson Spin Geometry Princeton University Press 1989 ISBN 978 0691085425 S 228 229 Charles B Thomas Elliptic Cohomology University Series in Mathematics Springer 1999 ISBN 978 0 306 46097 5 S 10 H B Lawson M Michelson Spin Geometry Princeton University Press 1989 ISBN 978 0691085425 S 230 231 Friedrich Hirzebruch Topological methods in algebraic geometry Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 131 2nd corrected printing of the 3rd edition Springer Berlin u a 1978 ISBN 3 540 03525 7 S 77 a b H B Lawson M Michelson Spin Geometry Princeton University Press 1989 ISBN 978 0691085425 S 230 H B Lawson M Michelson Spin Geometry Princeton University Press 1989 ISBN 978 0691085425 S 231 232 John W Milnor James D Stasheff Characteristic classes Princeton N J Princeton University Press ISBN 0691081220 224 S Ochanine Sur les genres multiplicatifs definis par des integrales elliptiques Topology 26 1987 pp 143 151 MR0895567 Zbl 0626 57014 Serge Ochanine What is an elliptic genus Notices of the AMS volume 56 number 6 2009 Online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Multiplikatives Geschlecht amp oldid 212768770, wikipedia, wiki, deutsches, deutschland,

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